8.) Проекция вектора. Теоремы о проекциях.

Пусть дана ось OL и вектор AB.

Проекцией вектора AB на ось OL называется длина отрезка A1 и B1 оси OL, соединяющего проекции начала и конца вектора, взятая со знаком «+», если отрезок A1 и B1 сонаправлен с осью OL и со знаком «-», если противоположно напр.

NPlb (BA) = -|B1A1|; NPol(AB) = |A1B1|.

Проекция есть число со знаком.

Теоремы о проекциях:

1.) Проекция вектора на ось равна длине этого вектора, умноженного на косинус угла между векторами и осью.

Т.е. NPol (AB) = |AB| * cos(phi), phi = (AB ,^ OL).

2.) При умножении вектора на скаляр, его проекция умножается на этот же скаляр.

Т.е. NPol (,\ * AB) = ,\ * NPol (AB).

3.) Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций этих векторов.

Т.е. NPol (a+b+c) =NPol (a) + NPol (b) + NPol (c).

9.) * Разложение вектора по ортам координатных осей. Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме.

10.) Скалярное произведение и его св-ва.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется ЧИСЛО равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Т.е. a * b = |a| * |b| * cos(phi) , phi = (a ;^ b).

Если хотя бы один из перемножаемых векторов равен нулю, то скалярное произведение равно нулю.

Пусть даны ненулевые векторы а и в, найдём их скалярное произведение.

a * b = |a| * |b| * cos(phi) , где |b| * cos(phi) = это NPa (b),

т.е. a * b = a * NPa (b), a * b = b.

Таким образом скалярное произведением двух ненулевых векторов, произведению длины одного вектора, на проекцию другого, на направление первого.

Св-ва скалярного произведения:

1.) Вектор a * b = b * a

2.) a * (b + c) = ab + ac

a * (b + c) = |a| * NPa (b + c) = (из теоремы 3) = |a| * NPa (b) + |a| * NPa (c) = a * b + a * c

3.) a * a = a ^ 2 = |a| ^ 2

a * a = |a| * |a| * cos(0) = |a| ^ 2

4.) Два ненулевых вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Т.е. a не(=) 0, b не(=) 0, a _I_ b => a * b = 0.

11.) * Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей.

Пусть даны два вектора: a = ax*i + ay*j + az*k; b = bx*i + by*j + bz*k.

Найдём их скалярное произведение, перечисленные св-ва позволяют перемножать эти векторы как многочлены.

a * b = (ax*i + ay*j + az*k) * (bx*i + by*j +bz*k) = ax*bx*i*i + ax*by*i*j + ax*bz*i*k + ay*bx*j*i + ay*by*j*j + ay*bz*j*k + az*bx*k*i + az*by*k*j + az*bz*k*k.

В силу ортогональности векторов i, j , k имеем:

1) i * j = j * i = 0 4) i * i = |i|^2 = 1

2) i * k = k * i = 0 5) j * j = |j|^2 = 1

3) j * k = k * j = 0 6) k * k = |k|^2 = 1

Учитывая последнее выражение, получаем: a * b = axbx + ayby + azbz = т.е. скалярным произведением двух ненулевых векторов равно сумме произведений одноимённых координат.

12.) Приложения скалярного произведения.

1.) Установление ортогональности векторов.

a * b = 0 => a _I_ b; axbx + ayby + azbz = 0.

2.) Нахождение угла между векторами.

cos(phi) = (a * b) / (|a| * |b|) = (axbx + ayby + azbz) / (sqrt (ax^2 + ay^2 + az^2) * sqrt (bx^2 + by^2 + bz^2))

3.) Нахождение проекции одного вектора на направление другого.

NPb (a) = a * b / |b| = (axbx + ayby + azbz) / (bx^2 + by^2 + bz^2);

NPa(b) = a * b / |a| = (axbx + ayby + azbz) / (ax^2 +by^2 +bz^2);

4.) Нахождение работы постоянной силы.

A = F * S.