О бчислення об’єму тіла обертання. Нехай функція неперервна на відрізку [a; b] . Потрібно обчислити обсяг V тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, обмеженої лініями

(мал. 11).

Т ому що будь-який поперечний переріз тіла є коло радіусом | у |, то площа перетину буде

Застосувавши формулу (1), знайдемо

(2)

Приклад 8. Обчислити обсяг тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, обмеженої лініями (мал. 12)

Δ Таке тіло називається параболоїдом обертання. Застосувавши формулу (1), одержимо ▲

Задача про обчислення об’єму тіла розв’язується аналогічно до задачі про площу криволінійної трапеції.

Нехай задано тіло Т і координатна пряма Ох у просторі (мал. 51).

Проведемо площини, перпендикулярні до прямої Ох так, щоб вони перетинали тіло Т або дотикалися до нього. Дотичні площини, що обмежують тіло, перетнуть вісь Ох у точках a і b, а будь яка площина між ними перетне її в точці х.

Позначимо площу перерізу тіла цією площиною через S. Кожному значенню х з відрізка [а;b] відповідатиме певне значення площі перерізу S = S(x).

Площина перерізу буде відтинати тіло, об’єм якого є також функцією х, тобто V = V(x). Тому можна стверджувати, що на відрізку [а;b] визначена функція S(x).

Якщо вона неперервна на відрізку [а;b], то функція V(x) є первісною для функції S(x) і справджується формула

Мал. 50 Мал. 51

Строге доведення цієї формули дано в курсі математичного аналізу. Наведемо лише геометричні міркування, які приво­дять до вказаної формули.

Розіб'ємо відрізок [а;b] на п рівних частин точками

а = х₀ <x₁<x₂<…<x_R-1<x_R,…<x_n-1<x_n=b.

Позначимо довжини кожного з відрізків розбиття через х = де R=1,2,…, n.

Через кожну точку розбиття проведено площину, перпендикулярну до осі Ох. Проведені площини розіб'ють тіло Т на шари.

Об'єм шару, що міститься між площинами, які проходять через точки x_R-1 i x_R при досить малих х (тобто досить великих n), наближено дорівнює добутку площі S(x_n-1) на х.

Якщо утворити суму

V_n = S(x₀) х + S(x₁) х + ... + S(x_n-1) х =

= (S(x₀) + S(x₁) + … + S(x_n-1))

то V_n V. Ця наближена рівність виконується а будь-якою точ­ністю при досить великих n. Отже, цілком природно, що

V= V_n= (S(x₀) + S(x₁) +…+ S(x_n-1))

Границю такої суми, як і в задачі про площу криволінійної трапеції, називають визначеним інтегралом і позначають

Тому .

Наведемо приклади застосування формули для обчислення об'ємів різних тіл.

Приклад 9. Знайти формулу об'єму кулі, радіус якої дорівнює R.

Розв'язання.

Оскільки в перерізі кулі утворюється круг, то розмістимо її так, щоб точка О відліку збігалася з проекцією центра 0₁ кулі (мал. 52) на координатну пряму.

З , де , за теоремою Піфагора,

КР²=О₁Р²-О₁К². Оскільки О₁Р=R, O₁K=x, KP=r– радіус

круга, який утворюється в перерізі, то r2 = R² –x²,

a S(x) = (R²-x²). Отже,

= , тобто об’єм кулі дорівнює .

Приклад 10. Знайти формулу об'єму кругового циліндра з площею основи S і висотою Н.

Розв'язання.

У кругового циліндра (похилого чи прямого) (мал. 53, а, Ь) будь-яка площа паралельних перерізів стала і дорівнює S.

Тому координатну пряму Ох проведемо перпендикулярно до площини основи, а точку відліку вибере­мо в точці її перетину з площиною основи. Вісь Ох перетне площину другої основи в точці Н, де Н — висота циліндра. Тоді

.

Отже, об’єм циліндра дорівнює добутку площі основи на висоту:

V=SH

Ця формула виявилась однаковою і для похилого і для прямого кругового циліндра.

Приклад 11. Знайти формулу об'єму піраміди з площею основи S і висотою Н.

Розв'язання. Нехай координатна пряма Ох проходить через вершину піраміди перпендикулярно до площини її осно­ви (мал. 54). Виберемо за точку відліку вершину піраміди.

Перетнемо піраміду площиною, паралельною площині осно­ви, на відстані х від вершини. Площа перерізу є функцією відста­ні х. За відомою теоремою з геометрії про відношення площ та­ких перерізів (вони є многокутниками, подібними до основи піра­міди),

Тому

Отже, об’єм будь-якої піраміди дорівнює третині добутку площі осякої піраміди дорівнює третині добутку площі основи на висоту:

V= SH

Приклад 12. Знайти формулу об'єму тіла обертання.

Розв'язання.

Розглянемо криволінійну трапецію аАВЬ, обмежену графіком неперервної функції у = f(х) (мал. 55).

П ід час обертання трапеції навколо осі Ох утвориться тіло обертання. Будь-яким перерізом тіла обертання є круг радіуса r = f(x).

Площа перерізу S(x) = , тому об'єм тіла обертання знайдемо за формулою

.

За цією формулою обчислимо, на­приклад, об'єм прямого кругового конуса (мал. 56), радіус основи якого дорівнює R, а висота — Н.

Мал. 55 Мал. 56

Для цього треба знайти спочатку рівняння прямої ОB, що проходить через точки О(0; 0) і В(Н; R). З курсу геометрії відомо, що рівняння прямої має вигляд ax + by + c = 0.

Оскільки точки О і В належать цій прямій, то їх координа­ти задовольняють рівняння прямої. Підставляючи координа­ти в рівняння, дістанемо дві рівності:

Підставляючи с = 0 у другу рівність, дістанемо аН + bR=0.

Звідси .

Підставимо значення а і с у рівняння прямої. Дістанемо:

.

Поділивши обидві частини цієї рівності на b, матимемо:

Звідси рівняння прямої ОВ.

Отже, а ,

Тобто, об'єм конуса дорівнює одній третині добутку площі основи на висоту Н:

За допомогою формули об'єму тіла обертання можна обчис­лити об'єм кулі і циліндра.

Приклад 13. Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням па­раболічного сегмента з висотою Н і основою 2R навколо осі симетрії (мал. 57).

Розв'язання. При такому виборі осей координат рівняння

параболи має вигляд у² = _Rх. Щоб знайти _R, врахуємо, що точка А (Н; R) належить параболі, тому її координати задовольняють рівняння параболи. Підставляючи у рівняння замість х число Н, а замість y – число R, дістанемо R² = _RH. Звідси _R = . Підставляючи зна­чення _R у рівняння параболи, матимемо

Шуканий об'єм тіла знайдемо за формулою , де f(x) = y:

.