Элементы анализа
Теория Кавальери побудила интерес к бесконечно малым. Задача о касательных, состоящая в отыскании метода для проведения касательной к кривой в заданной точке, все более выдвигается на первый план.
В 1638 г. Ферма открыл метод нахождения максимумов и минимумов с помощью незначительного изменения переменного в простом алгебраическом уравнении с последующим обращением этого изменения в нуль.
Математики проводили касательные, вычисляли объемы и центры тяжести, но еще не уловили связи между интегрированием и дифференцированием как обратными операциями, пока это не было показано (1670 г.) Барроу, но в тяжеловесной геометрической форме.
Наряду с книгой Кавальери одним из наиболее важных произведений этого периода была "Арифметика бесконечных" Валлиса (профессор геометрии в Оксфорде). Валлис был первым - у кого алгебра по настоящему переросла в анализ. Он вводил бесконечные ряды и произведения, работал с мнимыми выражениями, с отрицательными и дробными показателями. Он
1
написал со вместо —.
0
Вместе с "Арифметикой" Валлиса в наиболее развитой форме элементы анализа представлены в период до Ньютона и Лейбница в работе "Маятниковые часы" (1673 г.) Христиана Гюйгенса (волновая теория света).
Великая теорема Ферма
Диофант стал доступным для читающих на латинском языке в 1621 г. В своем экземпляре этого перевода Ферма сделал свои знаменитые заметки на полях, 8-я задача книга II Диофанта. Среди них мы находим "великую"
теорему Ферма о том, что уравнение х" + у" = z" невозможно при целых положительных значениях х, y,z, если п>2.
Теория вероятностей
Ферма и Паскаль стали основателями математической теории
вероятностей. Интерес к задачам, связанных с вероятностями, возник, прежде
;"' '■'"» I-1',"'' ■'*/
всего, в связи с развитием &рахов1гдела, но многие частные вопросы были поставлены в связи с играми в кости и в карты. Кавалер де Мере обратился с вопросом к Паскалю по поводу "задачи о бочках", Паскаль завязал переписку по поводу этой задачи и родственных вопросов, и они вдвоем установили некоторые из основных положений теории вероятностей (1654 г.). fla-йгенс" узнал о переписке и попытался дать собственное решение, в результате появилась его книга "О расчетах при азартных играх" (1657 г.), первый трактат по теории вероятностей. Следующие шаги были сделаны де Виттом и Галилеем, которые составили таблицы смертности (1671, 1693 гг.)
Блез Паскаль уже в 16 лет открыл "теорему Паскаля" о шестиугольнике, вписанном в коническое сечение (теорема была опубликована в трактате "Исследование о конических сечениях", который состоял из 53 страниц и был издан в 1641 г. в 50 экземплярах — в последствии повлияла на Дезарга). Изобрел счетную машину, его трактат об "арифметическом треугольнике", образованном биномиальными коэффициентами появился посмертно в 1664г. Его работы по интегрированию, идеи относительно бесконечного и бесконечно малого оказали влияние на Лейбница. Паскаль первым придал удовлетворительную форму принципу полной математической индукции.