4.1.2. Дискретизация двумерных сигналов (изображений)

Большую часть сообщений, циркулирующих в системах передачи и хранения информации, составляют сигналы, являющиеся многомерными функциями пространственных, временных и прочих координат. В связи с этим естественным является вопрос: можно ли производить дискретизацию многомерных сигналов (функций нескольких переменных)?

Ответ на этот вопрос дает теорема дискретизации для двумерных сигналов, которая утверждает: функция двух переменных s(x,y), двумерное преобразование Фурье которой

равно нулю при f_x ≥ f_{x max} и f_y ≥ f_{y max}, однозначно определяется своими значениями в равноотстоящих точках плоскости переменных x и y, если интервал дискретизации удовлетворяет условию Здесь f_x и f_y - так называемые «пространственные частоты», отражающие скорость изменения двумерной функции s(x,y) по соответствующим координатам (крупные фрагменты изображения - низкие частоты, мелкие детали - высокие частоты).

Процедура дискретизации двумерной функции показана на Рис. 4.1 – 4.3.

Рис. 4.1

Рис. 4.2

Доказательство двумерной теоремы дискретизации основано, так же как и для одномерного случая, на однозначном соответствии между сигналами и их спектрами: одинаковым изображениям (двумерным функциям) соответствуют одинаковые спектры, и наоборот, если спектры двух функций одинаковы, то и сами эти функции равны друг другу.

Рис. 4.3

П реобразование Фурье (спектр) дискретизированной двумерной функции s(iΔx,jΔy) получается периодическим продолжением спектра исходной непрерывной функции s(x,y) в точке частотной плоскости (kf_x,lf_y) (Рис. 4.4).

Рис. 4.4

Аналитически это можно записать следующим образом:

И з Рис. 4.4 видно, что если соблюдается условие неперекрываемости периодических продолжений спектра , а это справедливо при , то с помощью идеального двумерного фильтра нижних частот из спектра дискретизованной функции можно абсолютно точно выделить спектр исходной непрерывной функции и, следовательно, восстановить саму функцию.

Таким образом, видно, что не существует принципиальных отличий в дискретизации между одномерными и двумерными (многомерными) функциями. Результатом дискретизации в обоих случаях является совокупность отсчетов функции.

4.2. Воспроизведение сигналов

Воспроизведение сигнала по отсчетам может проводиться как на основе ортогональных, так и неортогональных базисных функций. При неортогональных базисных функциях используются, в основном, степенные алгебраические полиномы:

Если значения аппроксимирующего полинома совпадают со значениями выборок в моменты их отсчета, то такой полином называют интерполирующим. В качестве интерполирующих полиномов обычно используются многочлены Лагранжа.

Естественным требованием к выбору частоты дискретизации информации является внесение минимальных искажений в динамику изменения сигналов. Искажения информации будут тем меньше, чем выше частота дискретизации F, но что чем больше значение F, тем большим количеством цифровых данных будет отображаться один и тот же объем информации, а соответственно увеличивается время на ее передачу и обработку.

Следовательно, значение частоты дискретизации сигнала F должно быть необходимым и достаточным для обработки информации с заданной точностью или для восстановления аналоговых сигналов без искажений.

Интерполяционный ряд Котельникова-Шеннона является основой для операций дискретизации и восстановления аналогового сигнала, согласно которой аналоговый сигнал с ограниченным частотным спектром может быть без потерь информации преобразован в дискретный сигнал и затем точно восстановлен по его отсчетам.

, (4.2)

где .

По существу, ряд представляет собой разложение сигнала по системе ортогональных функций .

Отсюда следует, что если для частоты дискретизации сигнала справедливо неравенство F  2f_max, где f_max - наибольшая частота в спектре произвольной непрерывной функции s(t), то функция s(t) без потери точности может представляться в виде числовой последовательности дискретных значений s(kΔt), k = 0, 1, 2, ..., и однозначно по этой последовательности восстанавливается. В этом и состоит сущность теоремы отсчетов Котельникова-Шеннона.