Задача 15

На рисунке 3.20 приведена гистограмма месячных ставок роста индекса FTSE – 100

с 1988 по 1995 гг.

Для вычисления VAR воспользуемся тем фактом, что вероятность в «левом хвосте»

нормального распределения есть известная функция стандартного отклонения σ, а

именно, 5% вероятности нормального распределения находится левее 1,65 стандартных

отклонений от среднего значения µ. В данном примере имеем оценки µ = 0.76% и σ =

4,58%. При условии, что текущее значение капитала портфеля есть 1 млн фунтов стер-

лингов, значение VAR на интервале времени 1 месяц при 95%-ом доверительном уровне

составляет:

VAR = 1'000'000 × (0.0076 – 1.65 × 0.0458) = 68'012 ф. ст.

Задача 16

Рассчитать показатели риска активов А и В, если известна следующая информация

Вероятностные распределения доходности акций А и В.

Спрос	Вероятность	Доход акции, %
		А	В
высокий	0,3	100	20
средний	0,4	15	15
низкий	0,3	-70	10

Ответить на вопрос, какой актив является наиболее предпочтительным для инвестирования?

Решение:

1) на первом этапе рассчитываем с помощью формулы ожидаемую доходность активов А и В:

A r =0,3*100 0,4*15 0,3*(70) 30 6 21 15

B r = 0,3*20 0,4*15 0,3*10 6 6 3 15

2) на втором этапе рассчитываем стандартное отклонение актива А и В, используя формулу:

Риск акций В ниже риска акций А т.к.

3) Далее рассчитываем коэффициент вариации активов А и В,

Вывод по задаче: предпочтительней является актив В т.к. коэффициент вариации принимает минимальное значение.

Задача 17

Спрос	Вероятность	Доход акции, %
		А	В
высокий	0,3	100	20
средний	0,4	15	15
низкий	0,3	-70	10

На основе данных рассчитать показатели риска портфеля № 1, состоящего из 50% акций А и 50% акций В. И портфеля № 2, состоящего из 30% актива А и 70% актива В. Какой портфель является наиболее предпочтительным с точки зрения оптимизации риска и доходности?

Решение

1. На первом этапе рассчитываем ожидаемую доходность портфелей активов № 1 и 2,

2. На втором этапе рассчитываем стандартное отклонение портфелей № 1 и 2. Для этого необходимо рассчитать ковариацию, корреляцию:

Первый портфель обладает более высоким риском по сравнению со вторым. Это происходит в результате того, что в первом портфеле удельный вес высокорискового актива «А» составляет 50%, в портфеле №2 - 30%

3. Далее рассчитаем коэффициент вариации,

Вывод: Наиболее предпочтительным является второй портфель, т.к. он имеет коэффициент вариации.

Задача 18

Магазин "Молоко" продает в розницу молочные продукты. Директор магазина должен определить, сколько бидонов сметаны следует закупить у производителя для торговли в течение недели. Вероятности того, что спрос на сметану в течение недели будет 5, 20, 15 и 6 бидонов, равны соответственно 0,2; 0,2; 0,5 и 0,1. Покупка одного бидона сметаны обходится магазину в 56 руб., а продается сметана по цене 71 руб. за бидон. Если сметана не продается в течение недели, она портится, и магазин несет убытки. Сколько бидонов сметаны желательно приобретать для продажи? Какова ожидаемая стоимостная ценность этого решения?

Решение:

Критерий эффективности – величина прибыли от продажи сметаны, которая рассчитывается как разность между выручкой от реализации проданного продукта (цена * кол-во (спрос, если он меньше объема закупок, и объем закупок, если последний меньше или равен спросу)) и затратами на приобретение сметаны (цена 1 бидона * объем закупок по варианту принятия решения).

На основании условия строим матрицу выигрышей:

Объем	Спрос (с вероятностью)
закупок	5	20	15	6
	0,2	0,2	0,5	0,1
5	75,0	75,0	75,0	75,0
20	- 765,0	300,0	- 55,0	- 694,0
15	- 485,0	225,0	225,0	- 414,0
6	19,0	90,0	90,0	90,0

В соответствии с формулой 1 математическое ожидание прибыли по каждому варианту принятия решения:

Мх₅ = 75 * (0,2 + 0,2 + 0,5 + 0,1) = 75,0 руб.;

Мх₂₀ = (-765) * 0,2 + 300 * 0,2 – 55 * 0,5 – 694 * 0,1 = - 189,9 руб.;

Мх₁₅ = (-485) * 0,2 + 225 * (0,2 + 0,5) – 414 * 0,1 = 19,1 руб.;

Мх₆ = 19 * 0,2 + 90 * (0,2 + 0,5 + 0,1) = 75,8 руб.;

Как видно из расчетов вариант закупки 20 бидонов принесет ожидаемые убытки в размере 189,9 руб., поэтому этот вариант принятия решения неприемлем и в дальнейших расчетах не будет учитываться.

Для варианта закупки 5 бидонов дисперсия и среднеквадратическое отклонение будут равны 0, так как все сочетания со спросом дадут одинаковую ожидаемую прибыль. Вообще этот вариант является безрисковым и при любом стечении обстоятельств принесет магазину прибыль в размере 75 руб.

Определяем дисперсию для каждого из оставшихся вариантов по формуле 3:

Dx₁₅ = (-485 – 19,1)² * 0,2 + (225 – 19,1)² * (0,2 + 0,5) + (-414 – 19,1)² * 0,1 = = 50823,362 + 29676,367 + 18757,561 = 99257,29 руб.;

Dx₆ = (19 – 75,8)² * 0,2 + (90 – 75,8) ² * (0,2 + 0,5 + 0,1)= 645,248 + 161,312 = = 806,56 руб.

По формуле 4 вычисляем среднеквадратическое отклонение:

₁₅ = (99257,29)^1/2 = 315,05 руб.;

₆ = (806,56)^1/2 = 28,4 руб.

Выводы: из приведенных расчетов можно заключить следующее: вариант закупки 5 бидонов сметаны гарантированно принесет 75 рублей прибыли, ожидаемая прибыль по альтернативе 15 бидонов не стоит внимания, так как ее размер – всего 19,1 руб., а по варианту 6 емкостей прибыль равна 75,8 руб., в то время как значение интегрального показателя риска по сравнению с 5 бидонами возрастает с 0 до 28,4. Из вышесказанного можно заключить, что самым приемлемым вариантом еженедельных закупок для магазина будет приобретение 5 бидонов сметаны.

Ответ: для продажи надо приобретать 5 бидонов сметаны еженедельно. Ожидаемая стоимостная оценка этого решения - прибыль в размере 75,0 руб.