Правила нахождения области определения функции:

Пусть y=f(x) и y=g(x) - основные элементарные функции или их комбинации.

Для степенных функций вида , где n - четное, область определения находится из системы:

Для логарифмических функций вида область определения находится из системы:

Для дробей вида область определения находится из системы:

Для функций тангенса или котангенса вида tg(f(x)) или ctg(f(x)) область определения находится из систем соответственно:

или

Для функций арксинус или арккосинус вида arcsin(f(x)) или arccos(f(x)) область определения находится из системы (т.к. областью определения арксинуса и арккосинуса является отрезок от -1 до 1):

Для показательно степенных функций вида вида область определения находится из системы:

Область определения суммы (разности) функций вида находится из системы:

Область определения комбинации рассмотренных выше функций вида находится из системы:

Нужно найти нули знаменателя и исключить их из области действительных чисел.

2. Исследование поведения функции на границе области определения, нахождение вертикальных асимптот.

Определение 4. На границах области определения функция имеет вертикальные асимптоты, если односторонние пределы функции в этих граничных точках бесконечны.

В нашем примере граничными точками области определения являются . Исследуем поведение функции при приближении к этим точкам слева и справа, для чего найдем односторонние пределы: Так как односторонние пределы бесконечны, то прямые являются вертикальными асимптотами графика.

3. Исследование функции на четность или нечетность.

Определение 5. Функция является четной, если y(-x)=y(x) . Четность функции указывает на симметрию графика относительно оси ординат.

Определение 6. Функция является нечетной, если y(-x)= - y(x). Нечетность функции указывает на симметрию графика относительно начала координат.

Определение 7. Если ни одно из равенств (y(-x)=y(x), y(-x)= - y(x)) не выполняется, то функция является функцией общего вида.

В нашем примере выполняется равенство y(-x)=y(x), следовательно, наша функция четная. Будем учитывать это при построении графика - он будет симметричен относительно оси Oy.

4. Нахождение промежутков возрастания и убывания функции, точек экстремума.

Промежутки возрастания и убывания являются решениями неравенств и соответственно.

Определение 8. Точки, в которых производная обращается в ноль, называют стационарными.

Определение 9. Критическими точками функции называют внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции:

1. находим производную;

2. находим критические точки;

3. разбиваем область определения критическими точками на интервалы;

4. определяем знак производной на каждом из промежутков. Знак «плюс» будет соответствовать промежутку возрастания, знак «минус» - промежутку убывания.

Определение 10. Точками экстремума функции являются точки, в которых функция определена, и, проходя через которые, производная меняет знак.

Находим производную на области определения: Находим критические точки: находим стационарные точки (они же нули числителя): в нашем примере x=0; находим нули знаменателя: . Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак производной внутри каждого полученного промежутка. Можно взять любую точку из промежутка и вычислить значение производной в этой точке. Если значение положительное, то ставим «+» над этим промежутком и переходим к следующему, если отрицательное, то ставим «-» и т.д. К примеру, , следовательно, над первым слева интервалом ставим «+». Схематично плюсами/минусами отмечены промежутки где производная положительна/отрицательна. Возрастающие/убывающие стрелочки показывают направление возрастания/убывания. Делаем вывод: - функция возрастает на промежутке и на промежутке ; - функция убывает на промежутке и на промежутке . В нашем примере точкой экстремума является точка х=0 . Значение функции в этой точке равно . Так как производная меняет знак с «+» на «-» при прохождении через точку х=0 , то (0; 0) является точкой локального максимума (если бы производная меняла знак с «-» на «+», то мы имели бы точку локального минимума).