3. Надежность и риск резервированной системы, состоящей из независимых подсистем
Рассмотрим
метод определения показателей надежности
и риска резервированной системы.
Предположим, что
-й
элемент зарезервирован
раз однотипными по надежности элементами,
,
причем вид резервирования произвольный
(нагруженный, ненагруженный, облегченный).
На рисунке 2 показан случай раздельного
резервирования с постоянно включенным
резервом.
Рисунок 2 – Структурная схема системы с раздельным резервированием
Система может быть неремонтируемой или ремонтируемой, но при этом отдельные ее подсистемы должны быть независимы по обслуживанию. Последнее означает, что имеет место неограниченное восстановление, т.е. каждая подсистема имеет такое число ремонтных органов, чтобы не возникала очередь на восстановление отказавших элементов.
Обозначим
через
- вероятность безотказной работы, а
через
вероятность отказа
-й
подсистемы,
.
Тогда вероятность безотказной работы
и средняя наработка до отказа всей
системы соответственно равны:
,
.
(1.11)
Риск из-за отказа системы определяется по формуле:
.
(1.12)
4. Надежность и риск резервированной системы, состоящей из зависимых по восстановлению подсистем
Для систем, образованных из зависимых по восстановлению подсистем, не существует простых соотношений типа (1.11) и (1.12) для расчета ее показателей надежности и риска. Здесь необходимо учитывать дисциплину обслуживания отказавших элементов, а именно: количество ремонтных органов и приоритет обслуживания, т.е. порядок, в котором ремонтируются отказавшие элементы.
Описание функционирования системы осуществляется с помощью построения графа состояний и составления системы линейных алгебраических и дифференциальных уравнений.
Граф состояний системы строится в следующем порядке:
намечаются в виде горизонтальных линий уровни графа, которые нумеруются сверху вниз, считая верхний уровень нулевым;
возможным состояниям системы ставятся в соответствие узлы графа, располагаемые на определенных уровнях в виде точек (или кружков, или квадратов). На нулевом уровне помещается узел, соответствующий состоянию, когда все элементы системы исправны (состояние (0)); на первом уровне помещаются узлы, соответствующие состояниям, когда отказал один любой элемент системы; на втором уровне помещаются узлы, соответствующие состояниям, когда отказали любые два элементы системы и т.д.; на последнем уровне располагаются узлы, соответствующие только отказовым состояниям системы;
узлы графа соединяются ветвями, которые соответствуют переходам системы из состояния в состояние. Ветви размечаются интенсивностями отказов (восстановлений) элементов, из-за которых осуществляются переходы из состояния в состояние;
узлы графа, соответствующие отказовым состояниям системы, помечаются, например, крестами.
Разработаем математическую модель функционирования системы, для чего получим, пользуясь графом состояний, выражения для показателей надежности и риска системы.
Пусть
- множество всех состояний системы;
- множество исправных;
- множество отказовых состояний;
- вероятность пребывания системы в
момент времени
в состоянии
,
;
- интенсивность перехода из состояния
в состояние
.
Если переход из состояния
в состояние
отсутствует, то
.
По графу состояний формально составляется система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, описывающая процесс функционирования нерезервированной и резервированной технической системы:
,
.
(1.13)
Предполагая,
что в момент времени
система полностью исправна, запишем
начальные условия функционирования:
,
,
.
(1.14)
Решение системы (1.13) с заданными начальными условиями позволяет найти вероятность безотказной работы технической системы за время при условии, что все состояния отказа являются поглощающими:
.
(1.15)
Для
определения среднего времени безотказной
работы по графу состояний составляется
система линейных алгебраических
уравнений относительно средних времен
пребывания технической системы в
исправных состояниях
:
.
(1.16)
Тогда средняя наработка до отказа находится суммированием среднего времени пребывания системы в исправных состояниях:
.
(1.17)
Суммарный риск системы за время находится по формуле:
,
(1.18)
где
- риск системы из-за отказа
-го
элемента.