Выписывается расширенная матрица системы Ар.

^ат\^х\ ^+ат2^х2 ⁺ "^+атп^хп ~ Ь_т

^а11*1 ^{+ а}12*2 +-” + в|и*л ^{= Л}1 а₂₁х_] + а₂₂х₂ + -- + а_2пх_п = Ь₂

о_т\Х\ I а_т2х₂ + и_тпх_п = Ь_т

Л|,

Расширенная м.прима системы I

о,

1)

2)

ДС, + Х₂ + Xj = 2 л, - Зх₂ + 2.x, = I

Ан ^аш1 ••• а*

Примеры

Эх, + 2х₂ + х, = 3

2л, - х_г — х, ■ 2 х, + х₂ + х, ш 5 х, + Зх₂ - 4х, = 7

Возникают вопросы

• Имеют ли такие системы решения?

• Если имеют то сколько (т е имеют единственное решение или нет)?

• Как найти решения подобных систем?

В этом случае матричный метод и метод Крамера не применимы!

Вопрос о совместности системы позволяет решить Теорема Кропекспа-Канслли Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы А равен рангу матрицы A_r rgA rgA_p. При этом:

1. Если ранг матрицы А (те. число линейно независимых уравнений) равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение:

rgA = п - критерий единственности решения,

2. Если ранг матрицы А меньше числа неизвестных п, то система уравнений неопределенная, г е имеет бесконечное множество решений: rgA <п.

Применение метода Гаусса позволяет ответить на все вопросы (без предварительного определения рангов) и найти решения (единственное или бесконечное множество).

_|

2х, - х, + х, - х₄ =5 х, + 2х₂ - 2х₃ + Зх₄ = -6.

Зх, + х₂ - х₃ + 2х₄ = -1

Решение. Преобразуем А элементарными преобразованиями:

III - II

■ rgA = 2; п = 4

система уравнений имеет бесконечное множество решений. Для нахождения

[х, + 2х₂ - 2х₃ + Зх₄ = -6 - 5х₂ + 5х, - 7х₄ = 17

этого множества выписываем систему уравнений:

Таким образом, базисное решение: х, = 0, х₄ = 0 =>

Однородные системы линейных уравнений.

Система тлинейных уравнений с п неизвестными называется однородной, если ни свободные члены (правые части) равны нулю:

«11X1 +о,₂х₂ + ” + ai„x„ =0

^а2\^х] ^{+ а}22^х2 ^{+ а}2п^хп ~ 0 _/1Ч . „ _п

(1) или А Х = 0.

,^ат\^х\ ^{+ а}т2^х2 "* ^ ^атп^хп ⁼ 0

Система (1) всегда совместна, т.к. имеет по крайней мере одно нулевое решение

х, = 0; х₂ = 0;... ; х_я = 0.

В частности, если т = п и А = |л| * 0, то такое решение будет единственным.

следовательно, их можно взять в качестве фундаментальной системы решений. В обнн м случае для получения фундаментальных решений полагают одной из свободнмИ переменных придать значение 1, а остальным 0.

0 23 32 665/

X, + 2х₂ + Зх_} = 68

х₂ + ],5х₃ = 30 => х, = 10

х, =«

• х₂ =15.

U =ю

Ответ. Производственная профамма нг u iii.iii.iiIo6i.cm выпуска изделий (8. 15, 10) Подсчитаем доход фабрики сс ш почин щ нролали ка,клого и иииии пн laii'inci Столы 100 $/шт.; сту'лья 30 $/шт , ivmO.i 70 Vim Вектор (матрица) дохода С (НЮ Mi /о)

объемы продаж в II квартале;

- матрица (вектор) доходов от продаж каждого вида техники.

I'io /но ни

INI) |U0 ltd

VO IV) III)

101) MO loo

ulll <MII |||H t ill! 11(1 IwHWIOMy ииду i с x I III к 11 11

магазинам tn noiiyi олмг

III to

2) AV ш V„ - V,

20 III in 10 10 III

1. 0 10 JO

кварталом.

2. Доход фирмы Mil h.MUIMMS Mill H iiiiiy

|VI) ’HI) 41*0

1. HO 190 ПО 90 150 110

iioo 150 100

2. Доход oi пролив m> каждому виду icxiiiikii

,ii

Холодильники (l90 280 415)

ii|ui|iiи i hiii . mi iЦ>ii им mi II кппрншс no сравнению с I

П = [)' V" • (30 100 H) HO)

(18200 49500 45050)

• 44250.

Телевизоры, (l 80 190 130)

100'

100

_V100;

= 50000.

Пылесосы: (90 150 110)

30

= 10500.

Стиральные машины (100 150 100) -

= 28000