5) Обратная матрица и ее свойства. Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Пусть A — квадратная матрица порядка n:

    Если существует квадратная матрица X той же размерности, что и матрица A,  

    удовлетворяющая соотношениям A·X = X·A = I,  то матрица A называется обратимой,

    а матрица X называется обратной к матрице A и обозначается A⁻¹.

    Здесь I — единичная матрица соответствующей размерности:

A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I.

_____________________________________________________________________

Матричный метод: Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е. det A ≠ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы совпадает с вектором C = A^1B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X=C, C=A^-1B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.

Пример решения:

                                                      x₁ - x₂ +  x₃ = 6,

                                                    2x₁ + x₂ + x₃ = 3,

                                                      x₁ + x₂ +2x₃ = 5.

. Обозначим

Тогда данная система уравнений запишется матричным уравнением AX=B. Поскольку , то матрица A невырождена и поэтому имеет обратную:

.

Для получения решения X мы должны умножить вектор-столбец B слева на матрицу A: X = A^-1B. В данном случае

и, следовательно,

.

Выполняя действия над матрицами, получим:

                            x₁ = 1/5(1*6+3*3-2*5) = 1/5 (6+9-10) = 1,

                            x₂ = 1/5 (-3*6 +1*3 - 1*5) = 1/5 (- 18 + 3 + 5) = -2,

                            x₃ = 1/5 (16 - 23 + 35) = 1/5 (6 -6 + 15) = 3.

Итак, X = (1, -2, 3)^T.

6) Базисный минор матрицы. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Метод Крамера. Теорема о базисном миноре В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор. Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице. Если А- квадратная матрица и detA = 0, то по крайней мере один из столбцов – линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю. Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка. Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры (то есть содержащие его миноры на единицу большего порядка) были равны нулю. Система строк (столбцов) матрицы, связанных с базисным минором, является максимальной линейно независимой подсистемой системы всех строк (столбцов) матрицы. ___________________________________________________________________________________Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называется рангом матрицы. Рангом r(A) матрицы A называется самый большой порядок, для которого существуют отличные от нуля миноры. Если ранг матрицы A равен r, то это означает, что в матрице A имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r равен нулю. Имеет место Теорема о ранге матрицы: Ранг r матрицы A равен максимальному числу линейно независимых столбцов (строк). Лемма. Максимальное число линейно независимых строк в матрице равно максимальному числу линейно независимых столбцов в этой матрице. Если каждый элемент матрицы равен нулю, то ранг такой матрицы, по определению, считают равным нулю. Если r(A)=r(B), то матрицы A и B называются эквивалентными. В этом случае пишется: A ~B.  Ранг матрицы не изменяется от элементарных преобразований. ____________________________________________________________________________________Под элементарными преобразованиями понимается:

- замена строк столбцами, а столбцов - соответствующими строками;

- перестановка строк (столбцов) матрицы;

- вычеркивание ряда (строки или столбца), все элементы которого равны нулю;

-умножение какого-либо ряда (строки или столбца) на число, отличное от нуля

прибавление к элементам одного ряда соответствующих элементов другого параллельного ряда.

-Эквивалентные преобразования не меняют ранга матрицы; переходя от матрицы A к матрице A₁ и т.д., с помощью эквивалентных преобразований, мы получаем, вообще говоря, разные матрицы, но эти матрицы имеют один и тот же ранг. Действительно, сравнивая эквивалентные преобразования матрицы со свойствами определителя видим, что определитель, не равный нулю, и в ходе эквивалентных преобразований остается отличным от нуля.

-Если матрица n -го порядка имеет вид верхней треугольной матрицы, то её определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Это свойство используется при вычислении ранга матрицы: необходимо привести матрицу к верхней треугольной и тогда, выделив соответствующий определитель, найдем, что ранг матрицы равен числу элементов главной диагонали, отличных от нуля (или порядку найденного максимального минора M≠0).

______________________________________________________________________ Коэффициенты и свободные члены СЛАУ запишем в виде матриц и назовем их: A - матрица системы, а A₁ - расширенная матрица системы.

,

(8.1)

Число уравнений СЛАУ равно числу неизвестных: m=n.

Теорема (правило Крамера): Система из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными в случае, когда определитель матрицы системы отличен от нуля

совместна и имеет единственное решение: для всех j: j = 1, 2, 3,…,n.

Здесь через D_j обозначен определитель матрицы, получаемой из матрицы c заменой j-го столбца (т.е. столбца коэффициентов при определяемом неизвестном) столбцом свободных членов, т.е.

(8.1.1)