22.Зависимость между моментами силы относительно оси и относительно любой очки лежащей на оси

Вектор-момент силы относительно центра (точки).

Сформулируем определение этого момента силы.

Вектором-моментом или просто моментом силы относительно центра (точки) является векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы на саму силу (рис. 16):

С физической точки зрения вектор-момент лежит на оси LM, относительно которой вращательное действие силы максимально. Математически момент силы относительно центра полностью определяет линию действия силы. По определению векторного произведения он перпендикулярен к плоскости, где лежат центр и линия действия силы, а его конец показывает верх плоскости. Величина вектора-момента позволяет определить в этой плоскости кратчайшее расстояние h от центра до линии действия силы, которое называют плечом силы. В этом нетрудно убедиться, найдя модуль векторного произведения, равный mO(F) = rFsin (r ^ F). Учитывая, что h = r sin (r ^ F) (рис. 16), получаем:

Таким образом, силу, как скользящий вектор, можно определить в системе координат проекциями векторов F и mO(F) на координатные оси. Проекции силы определяют ее величину и направление, а проекции момента - ее линию действия. Отметим, что среди этих шести параметров независимых только пять, так как проекции силы и момента силы связаны одним уравнением ортогональности этих векторов.

рис 16

Моментом силы относительно оси является алгебраический момент проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью (рис. 18).

На рисунке плоскость П перпендикулярна оси OZ, а вектор FП - проекция силы на плоскость. В отличие от проекции силы на ось, которая является скалярной переменной, проекция силы на плоскость - вектор. По определению момента силы относительно оси мы можем записать, что:

Когда проекция силы стремится повернуть тело вокруг оси против хода часов, смотря с конца оси, момент силы относительно оси имеет знак "+". В противном случае момент имеет знак "-".

23. Теорема о моменте равнодействующей силы (вариньона)

Теорема Вариньона. Если рассматриваемая плоская система сил приводится к равнодействующей, то момент этой равнодействующей относительно какой-либо точки равен алгебраической сумме моментов всех сил данной системы относительно той оке самой точки. Предположим, что система сил приводится к равнодействующей R, проходящей через точку О. Возьмем теперь в качестве центра приведения другую точку O1. Главный момент (5.5) относительно этой точки равен сумме моментов всех сил: MO1Z=åMo1z(Fk) (5.11). С другой стороны, имеем MO1Z=MOlz(R), (5.12) так как главный момент для центра приведения О равен нулю (MOz=0). Сравнивая соотношения (5.11) и (5.12), получаем MO1z(R)=åMOlZ(Fk); (5.13) ч.т.д. При помощи теоремы Вариньона можно найти уравнение линии действия равнодействующей. Пусть равнодействующая R1 приложена в какой-либо точке О1 с координатами х и у (рис. 5.5) и известны главный вектор Fo и главный момент МОя при центре приведения в начале координат. Так как R1=Fo, то составляющие равнодействующей по осям х и у равны Rlx=FOx=FOxi и Rly=FOy=Foyj. Согласно теореме Вариньона момент равнодействующей относительно начала координат равен главному моменту при центре приведения в начале координат, т. е. Моz=MOz(R1)=xFOy–yFOx. (5.14). Величины MOz, FOx и Foy при переносе точки приложения равнодействующей вдоль ее линии действия не изменяются, следовательно, на координаты х и ув уравнении (5.14) можно смотреть как на текущие координаты линии действия равнодействующей. Таким образом, уравнение (5.14) есть уравнение линии действия равнодействующей. При Fox≠0 его можно переписать в виде y=(Foy/Fox)x–(Moz/Fox).