1.3. Моделирование краевых условий для основных уравнений математической физики.

Уравнения для описания процесса должны быть дополнены краевыми условиями. Под термином «краевые условия» мы подразумеваем не пространственные границы процесса, а некий набор значений переменных в заранее заданной области. Таким образом, время тоже буде иметь два краевых условия или границы – начало и конец.

1.3.1 Физическая постановка задачи формирования граничных условий.

Именно краевые условия при постановке включают в себя все особенности исследуемого процесса. Принципиально в качестве этих условий можно задать экстраполяционную зависимость, построенную на основе статистического анализа опытных данных (регрессионного анализа). Построению таких зависимостей будет посвящена глава во второй части пособия. Однако простейшее формирование граничных условий из экспериментальных данных можно реализовать только в отдельных случаях. Это связано, с одной стороны, с трудностью получения экспериментальных значений, с другой стороны, с тем, что любые экспериментальные данные являются случайными величинами, что вносит серьезные проблемы в численное решение уравнений и ограничивает экстраполяцию и интерполяцию нашей задачи.

На практике, в качестве краевых условий берут известные закономерности поведения уравнений в какой-то области. При этом существуют типовые постановки задач, которые позволяют моделировать процессы, для которых экспериментальных данных не существует вообще.

Одной из типичных постановок, является постановка, когда система на какой-либо из границ находится в стационарном состоянии или, в частном случае, в термодинамическом равновесии.

Стационарные состояния, т. е. такие состояния, в которых параметры, их определяющие, не зависят от времени, играют важную роль в приложениях неравновесной термодинамики. Стационарные состояния могут быть как равновесными, так и неравновесными в зависимости от граничных условий, накладываемых на систему.

До рассмотрения стационарных состояний мы обсудим некоторые свойства состояния механического равновесия. Стоит заметить, что при некоторых условиях, из которых наиболее важным является предположение о постоянстве феноменологических коэффициентов и справедливости соотношений взаимности Онсагера, стационарные состояния являются в то же время состояниями с минимальным производством энтропии, совместимым с внешними воздействиями.

Механическое равновесие

Для случая состояния механического равновесия можно доказать теорему, упрощающую описание некоторых необратимых процессов, в частности явлений диффузии.

Состояние механического равновесия есть состояние, в котором ускорение dv/dt равно нулю. Мы интересуемся такими состояниями механического равновесия, в которых не только ускорения равны нулю, но и пренебрежимо малы градиенты скоростей, а, следовательно, мал и вязкий тензор давлений П.

Для таких состояний уравнение движения (2.19) принимает вид:

0=:-grad p + (1.83)

В ряде важных случаев состояние механического равновесия, описываемое уравнением (1.83), действительно устанавливается за время, значительно меньшее времени, характерного для термодинамических процессов. Таким образом, фактически это состояние достигается уже к началу исследуемых необратимых процессов. Для более общих случаев это утверждение не всегда справедливо: все зависит от конкретной физической ситуации. Можно представить себе, например, осциллирующие системы, в которых ускорение все время отлично, от нуля. Однако, например, для явлений диффузии или термодиффузии в замкнутых сосудах вполне разумно предполагать, что в хорошем приближении состояние механического равновесия, описываемое уравнением (1.83), быстро реализуется. В диффузионных экспериментах ускорение dv/dt может быть отличным от нуля, например, в том случае, когда молекулярные массы участвующих в процессе компонентов имеют разную величину. Однако это ускорение очень мало и возникающие градиенты давления (если предположить отсутствие внешних сил) также пренебрежимо малы. Налагаемая в начальный момент разность давлений также приведет к появлению ускорений, но они исчезнут вследствие наличия вязкости задолго до того, как процесс диффузии достигнет стационарного состояния. Таким образом, вновь предполагая отсутствие внешних сил F_k, мы можем считать градиенты давления пренебрежимо малыми уже почти в самом начале процесса диффузии.

Для состояния механического равновесия (1.83) Пригожин [4] доказал теорему, согласно которой в выражении для производства энтропии (4.13) массовую скорость v, входящую в определение (2.9) диффузионного потока J_k, можно заменить другой произвольной скоростью v^а.

Доказательство этой теоремы основано на справедливости следующего равенства:

(1.84)