2. Методические указания к изучению дисциплины

Основные понятия математической статистики

В математической статистике принято выделять два основных направления исследований: первое направление связано с оценкой неизвестных параметров, второе – с проверкой некоторых априорных предположений или статистических гипотез.

Основными понятиями математической статистики являются: генеральная совокупность, выборка, эмпирическая функция распределения.

Генеральная совокупность – это случайная величина или случайный вектор, заданный на вероятностном пространстве событий.

Исследование всех элементов генеральной совокупности невозможно и нецелесообразно, так как объём элементов очень велик, и обработка стоит большого труда. Поэтому из генеральной совокупности отбирают определённое количество элементов, которые называются выборкой, и производят их изучение. Элементы выборки называют вариантами.

Чтобы по данным выборки можно было судить об интересующем признаке генеральной совокупности, все объекты должны иметь одинаковую вероятность попадания в выборку, т.е. выборка должна быть репрезентативной. И тогда, в соответствии с законом больших чисел, результаты выборки будут близки к результатам, которые могут быть получены при наблюдении всех объектов генеральной совокупности.

Способ составления выборки может быть повторным, если один и тот же объект генеральной совокупности попадает под наблюдение более одного раза, в противном случае способ составления выборки называется бесповторным. Если объём выборки достаточно велик, то существенной разницы между бесповторной и повторной выборками нет.

Среди этих двух основных способов различают следующие способы составления выборки: механический, при котором объекты отбирают через определённый интервал (например, каждое десятое изделие с конвейера); простой случайный, при котором объекты отбирают случайно (например, каждый объект заменяют жетоном с номером, жетоны перемешивают и случайным образом берут несколько штук, а затем по ним берут объекты); типический, при котором объекты генеральной совокупности разбивают на непересекающиеся группы, а из них случайным образом берут объекты; серийный, при котором объекты разбивают на непересекающиеся группы и берут случайным образом некоторые из групп. Типическим способом пользуются тогда, когда результат наблюдения заметно колеблется в различных типических группах генеральной совокупности. Серийным способом пользуются тогда, когда результат наблюдения колеблется незначительно в различных группах, и тогда наблюдению подвергаются все объекты случайно выбранной группы (серии).

Статистическая обработка выборки начинается с составления дискретного вариационного ряда (Таблица 3),

где – варианта (ранжированные элементы выборки, т.е. выстроенные в порядке возрастания или убывания),

- частота варианты (количество появления данного элемента в выборке),

– относительная частота,

n – объём выборки.

Варианты могут быть записаны в виде точечных значений или в виде интервалов непрерывных значений. В первом случае вариационный ряд называется дискретным, во втором – интервальным. Эти ряды помогают выявить структуру изучаемого явления.

Для интервального вариационного ряда в первой строке (столбце) таблицы записываются интервалы изменения непрерывного признака , а во второй строке (столбце) – частоты попадания наблюдаемых значений признака в эти интервалы. Для интервала выбирают длину h, определяемую условиями задачи или рассчитывают по формуле Стерджесса:

(1)

При этом значение признака, находящегося на границе интервалов относят к правой границе интервала.

На практике считают, что правильно составленный ряд распределения содержит от 6 до 15 частичных интервалов. Часто интервальный вариационный ряд заменяют дискретным вариационным рядом, выбирая средние значения интервала.

После составления вариационного ряда необходимо построить функцию распределения выборки или эмпирическую функцию F*(x), то есть функцию найденную по данным эксперимента.

Эмпирическое распределение можно изобразить в виде полигона, гистограммы или ступенчатой кривой.

Ступенчатая кривая. При известном статистическом распределении частот количественного признака Х, значение наблюдалось раз, наблюдалось раз и т.д. наблюдалось раз, общий объём выборки можно определить по формуле:

(2)

Число наблюдений называется эмпирической частотой, а значение его отношения к объёму выборки – относительной частотой:

(3)

Если за принять некоторое значение в табличном ряду, а за – число наблюдений, расположенных левее в том же табличном ряду, то эмпирической функцией распределения случайной величины называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения x относительную частоту события X<x:

F*(x)= (4)

Таким образом, для того чтобы найти, например , надо число вариант, меньших , разделить на объём выборки:

= (5)

Эта функция служит приближённой оценкой теоретической функции распределения F(x) случайной величины Х.

Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция F(x) определяет вероятность события Х<х, а эмпирическая функция определяет относительную частоту этого же события. обладает всеми свойствами F(x), а именно:

1. значения эмпирической функции принадлежат интервалу [0;1];

2. F*(x)- неубывающая функция;

3. если - наименьшее значение, - наибольшее, то F*(x)=0 при и F*(x)=1 при x> .

На рисунке 1 изображена функция распределения интервального вариационного ряда, результаты расчёта которой представлены в таблице №4.

Полигон частот ( или многоугольник распределения) – это ломаная, отрезки которой соединяют точки ( ), ( ), …( ). На оси абсцисс откладывают значения величины Х, на оси ординат – соответствующие им частоты или относительные частоты. Полученные точки соединяют ( рисунок 2).

В случае непрерывных случайных величин строится гистограмма частот или относительных частот. Это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых являются частичные интервалы длиной h, а высоты равны или . Площадь под гистограммой равна сумме всех частот (относительных частот), т.е. объёму выборки (единице).

Графическое изображение вариационных рядов в виде полигона и гистограммы позволяет получать первоначальное представление о закономерностях, имеющих место в совокупности наблюдений.

На основании полученных выборочных данных необходимо сделать предположение, что изучаемая величина распределена по некоторому определённому закону. Для того чтобы проверить, согласуется ли это предположение с данными наблюдений, вычисляют частоты наблюдаемых значений, т.е. находят теоретически сколько раз величина Х должна была принять каждое из наблюдаемых значений, если она распределена по предполагаемому закону. Для этого находят выравнивающие (теоретические) частоты по формуле:

(6)

где n – число испытаний,

- вероятность наблюдаемого значения , вычисленная при допущении, что Х имеет предполагаемое распределение.

В случае непрерывного распределения весь интервал возможных значений делят на k непересекающихся интервалов и вычисляют вероятности попадания Х в i-й частичный интервал, а затем, как и для дискретного распределения, умножают число испытаний на эти вероятности (6).

Эмпирические и выравнивающие частоты сравнивают, и при небольшом расхождении данных, делают заключение о выбранном законе распределения.

Статистические оценки и их свойства

Статистической оценкой неизвестного параметра называется функция от наблюдаемых случайных величин.

Пусть – оцениваемый параметр закона распределения случайной величины Х; – наблюдаемые значения случайной величины в n опытах, - статистика. Её значение до опыта есть случайная величина, а после опыта – некоторое число. Задача точечного оценивания подобрать такую статистику , что - точечная оценка параметра , т.е. его приближённое значение. Это случайная величина и её возможные значения изменяются при переходе от одной выборки к другой. Математическое ожидание случайной величины может совпасть или не совпасть с оцениваемым параметром .

Если М( )= , то называется несмещённой оценкой, в противном случае – смещённой. Несмещённость оценки говорит о том, что отклоняется от в обе стороны одинаково и отклонения компенсируют друг друга.

Оценка может иметь большой или небольшой разброс (дисперсию) относительно математического ожидания.

Если несмещённая оценка имеет наименьшую дисперсию при одних и тех же объёмах выборки, то она называется эффективной.

При большом объёме выборки наряду с требованием несмещённости и эффективности, к оценке предъявляют требование состоятельности. Оценка называется состоятельной, если вероятность сколь угодно малого отклонения оценки от оцениваемого параметра сколь угодно близка к единице:

(7)

После извлечения из генеральной совокупности выборки объёма n рассчитывают основные числовые характеристики выборки:

Выборочные средние

При статистической обработке материала необходимо учитывать особенности изучаемых явлений, для изучения которых требуются различные средние. Математическая статистика выводит различные средние из формул степенной средней:

. (8)

Вопрос о том, какой вид средней необходимо применить, решается путём конкретного анализа изучаемой совокупности, определяется материальным содержанием изучаемого явления, а также исходя из принципа осмысленности результатов при суммировании.

Средняя арифметическая: Это величина ( , определяемая как среднее арифметическое значение выборки:

или , (9)

где - частоты,

а -объём выборки.

Она исчисляется в тех случаях, когда объём усредняемого признака, образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности.