1.3 Метод трапеций.
Метод трапеций — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подинтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию.
Если отрезок (xi;xi+h) является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по формуле
=
1.3.1 Метод трапеций при n=1
На отрезке (a;b) заменяем f(x) полином первой степени.
В этом случае
Xi=a
Xi+h=b
h=(b-a)/n
и уравнение имеет вид:
= ((b-a)/n)*[(a cos(a))+(b cos(b))]/2
Подставим исходные данные и получим:
=
((
-0)/1)*[(0
* cos(0))+(
*cos(
]/2
= -4,935
= -4,935
Погрешность:
R0=(-h3/12)*f’’’(xi)= 8,117
1.3.2 Метод трапеций при n=2.
Отрезке (a;b) разбиваем на 2 отрезка (a;c) и (c;b) и замеим f(x) полином первой степени на обоих отрезках.
В этом случае
X1=a
X2 =c = (a+b)/2
X3 =b
h=(b-a)/n
и уравнение имеет вид:
= ((b-a)/n)*(([(a cos(a))+(c cos(c))]/2)+([( c cos(c))+(b cos(b))]/2))
Подставим исходные данные и получим:
=
((
-0)/1)*(([(0
* cos(0))+(
*cos(
]/2)+
([(
* cos(
))+(
*
cos(
))]/2))
= -2,467
= -2,467
Погрешность:
R0=(-h3/12)*f’’’(xi)=0,646
1.4 Метод Симпсона.
Метод Симпсона — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на полином второй степени, то есть на параболу.
Формула Симпсона:
= h[f(x0)+4f(x1)+f(x2)]/3
1.4.1 Метод Симпсона при n =1.
Подынтегральную функцию f(x) заменим полином второй степени P2(x) – параболой, проходящей через равноотстоящие точки x0,x1,x2.
В данном случае
X0=a
X1=c = (a+b)/2
X2 = b
h=(b-a)/2n
Полученное уравнение имеет вид:
= (b-a)/2n [(a cos(a))+(c cos(c))+(b cos (b))]/3
Подставляем исходные данные и получаем:
= ( -0)/2*1 [(0 cos(0))+( cos( ))+( cos ( ))]/3 = -1,645
=-1,645
1.4.2 Метод Симпсона при n=2.
В данном случае исходный отрезок [a;b] разбиваем на 2: [a;c] и [c;b].
Подынтегральную функцию f(x) заменим полином второй степени P2(x) – параболой, проходящей через равноотстоящие точки x0,x1,x2 – на первом отрезке и x2,x3,x4 – на втором отрезке.
В данном случае
X0=a
X1=d = (a+c)/2
X2 = с= (a+b)/2
X3 = e = (c+b)/2
X4 =b
h=(b-a)/2n
Полученное уравнение имеет вид:
= (b-a)/2n( ([(a cos(a))+(d cos(d))+(c cos (c))]/3)+([(c cos(c)) + 4(e cos(e)) + (b cos(b))]/3))
Подставляем исходные данные и получаем:
=
(
-0)/2*1((
[(0 cos(0))+(
cos(
)) + (
cos (
))]/3) + ([(
cos (
+ 4(
cos(
+(
cos (
)) = -1,986
=-1,986
Вычисление интеграла методом Гаусса
Метод Гаусса — метод численного интегрирования, позволяющий повысить алгебраический порядок точности методов на основе интерполяционных формул путём специального выбора узлов интегрирования без увеличения числа используемых значений подынтегральной функции. Метод Гаусса позволяет достичь максимальной для данного числа узлов интегрирования алгебраической точности.
Например,
для двух узлов можно получить метод
3-го порядка точности, тогда
как для равноотстоящих узлов метода
выше 2-го порядка получить невозможно.
В общем случае, используя 
точек,
можно получить метод с порядком
точности 
.
Значения узлов метода Гаусса по
точкам
являются корнями полинома
Лежандра степени
и
приводятся в справочниках специальных
функций вместе с соответствующими
весами.
Формула:
=
,
Где t- координаты узлов
Ck – весовые коэффициенты
2.1 Одноточечная схема метода Гаусса.
При наличии 1-го узла
t=0
ck = 2
Формула имеет вид:
=
Подставим в данную формулу исходные данные и получим:
=
=0
=0
2.2 Двухточечная схема метода Гаусса
При наличии 2-х узлов
t1=-1/
t2 = 1/
c1 = 1
c2 = 1
Формула имеет вид:
=
Подставим в данную формулу исходные данные и получим:
=
=
-2,244
=-2,244
2.3 Трехточечная схема метода Гаусса
При наличии 3-х узлов
t1=
-
t2 = 0
t3 =
c1 = 5/9
c2 = 8/9
c3 =5/9
Формула имеет вид:
=
Подставим в данную формулу исходные данные и получим:
= = -1,992
=-1,992
Сравнительный анализ точности полученных результатов.
-
Метод
Точное значение интеграла =
Погрешность
Аналитически
-2
-
Средних прямоугольников, n=1
0
-2,584
Средних прямоугольников, n=2
-1,745
-0,636
Трапеций, n=1
-4,935
8,117
Трапеций, n=2
-2,467
0,646
Симпсона, n=1
-1,645
-0,355
Симпсона, n=2
-1,986
0,014
Гаусса, n=1
0
-2
Гаусса, n=2
-2,244
0,244
Гаусса, n=3
-1,992
-0,008
Вычисление интеграла
Аналитически.
Вычислим
внутренний интеграл i=
.
Интеграл суммы равен сумме интегралов, следовательно:
=
+
= 2*
+
x
= (2/3
+
)
= 20,639 + 3,14
Подставим полученное значение во внешний интеграл и вычислим его.
=
+
=20,639y
+ 3,14
= 64,807 + 32, 404 = 97,211
Метод Гаусса.
Двойной интеграл вычисляется методом Гаусса аналогично одномерному случаю.
4.2.1Одноточечная схема.
При наличии 1-го узла
=0
ci,j = 2
Формула имеет вид:
=
Подставим в данную формулу исходные данные и получим:
=
= 46,472
4.2.2 Двухточечная схема.
При наличии 2-х узлов
t1=-1/
t2 = 1/
c1 = 1
c2 = 1
= = 31
Вывод:
По проведенным нами расчетам можно сделать вывод о том, что наиболее точными методами численного интегрирования являются метод Симпсона и метод Гаусса при наибольшем количестве разбиений.