2. Для аналізу індивідуального ринку використовують виробничу функцію попиту.
Вводимо гіпотезу, що між ціною P та величиною попиту D існує стохастична залежність:
(7.4),
де
- невідомі параметри регресії.
Потрібно відрізняти стохастичну залежність від функціональної. При стохастичній залежності одному значенню фактора може відповідати декілька значень показника, тоді як при функціональній залежності одному значенню аргумента відповідає лишу одне значення функції, тобто між аргументом і функцією існує взаємооднозначна відповідність.
Для регресії у вигляді многочлена другого ступеня система нормальних рівнянь має такий вигляд:
,
,
(7.5).
Розв’язавши
цю
систему
рівнянь симплекс-методом або ЗЖВ,
отримаємо оцінки параметрів регресії
попиту. Для розв’язання системи
нормальних рівнянь можна використати
звичайні жорданові виключення (ЗЖВ),
вибираючи за розв’язувальні елементи
діагональні елементи. Нагадаємо процедуру
обчислення одного кроку ЗЖВ для
розв’язувального елемента
:
1) розв’язувальний елемент замінюється одиницею;
2)
решта
елементів розв’язувального
-стовпця
залишається без змін;
3)
решта
елементів розв’язувального
-рядка
змінюють лише знаки;
4) елементи, які не належать до розв’язувальних рядків і стовпців, визначаються за правилом прямокутника:
(7.6),
де
-
рядки;
-стовпці;
5) всі елементи нової таблиці діляться на розв’язувальний елемент.
Для
визначення адекватності прийнятої
економетричної моделі експериментальним
даним скористаємось
-критерієм
Фішера, який полягає в наступному.
Розраховуємо значення критерію за формулою:
(7.7).
Знаходимо
табличне значення
за заданою ймовірністю
та числом ступенів вільності
і
,
які визначаються за формулами:
,
(7.8),
де
-
кількість проведених спостережень;
-
кількість факторів, які мають суттєвий
вплив на показник.
Якщо розрахункове значення більше за табличне:
>
(7.9),
то прийнята економетрична модель вважається адекватною експериментальним даним і для неї справедливі всі закономірності функціонування і розвитку, які характерні для реального економічного явища. Тобто її можна використовувати для аналізу та прогнозування індивідуальних ринків.
3. Нехай відома регресія попиту на певний вид товару як функція від ціни товару , яка має вигляд:
(7.10).
Тоді
товарообіг
у грошовому виразі дорівнює добутку
реалізованого попиту на ціну товару:
(7.11).
Виробника
цікавлять зміни товарообігу в грошовому
виразі залежно від зміни ціни на даний
товар. Проведемо дослідження зміни
товарообігу
залежно від значень
,
тобто знайдемо проміжки зростання,
спадання і точку екстремуму товарообігу
.
Для цього знайдемо похідну від
по
:
(7.12),
де
- коефіцієнт еластичності попиту.
Отже,
товарообіг
є функцією від коефіцієнта еластичності
попиту
.
Залежноі
від знака
розрізняють три різних варіанти
еластичності попиту:
1.
Якщо похідна від товарообігу по ціні
додатна
>0,
то при зростанні ціни Р
зростає товарообіг
.
Оскільки з економічного змісту f(P)>0,
то
буде більше нуля, якщо
>0.
Звідси
випливає, що на проміжку, де товарообіг
зростає, коефіцієнт еластичності попиту
>-1.
З іншого боку, регресія попиту спадна
і тому
<0,
тобто
<0.
Таким чином, на проміжку зростання товарообігу коефіцієнт еластичності попиту змінюється в межах від -1до 0.
В економіці прийнято називати попит нееластичним, якщо коефіцієнт еластичності попиту змінюється в межах від -1 до 0.
Економічна
інтерпретація. Зміна ціни на 1% викликає
зміну попиту в зворотному напрямку на
%,
де -1<
<0,
при цьому товарообіг у грошовому виразі
зростає.
2.
Якщо
<0,
то з підвищенням ціни на товар відбувається
зниження товарообігу в грошовому виразі.
Оскільки
(
)
< 0, а
>0,
то
<0.
Звідси
випливає, що
<-1.
Якщо значення коефіцієнта еластичності попиту для даної ціни P менше –1, то попит при цій ціні еластичний.
Економічна інтерпретація. При еластичному попиті зміна ціни товару на 1% викликає зміну попиту в зворотному напрямку на %, де <-1. При цьому товарообіг у грошовому виразі зі зростанням ціни спадає.
3.
Якщо
=0
для деякого проміжку цін, то на цьому
проміжку товарообіг залишається сталим.
Якщо в деякій точці =0, то ця точка називається критичною. Причому якщо при переході через цю точку похідна змінює знак з плюса на мінус, то при цій ціні товарообіг у грошовому виразі буде максимальним. Коефіцієнт еластичності в цій точці дорівнює -1.
Визначимо
проміжки зростання та спадання
товарообігу. Якщо регресія попиту
має
вигляд многочлена другого порядку
,
то товарообіг для цієї регресії
має вигляд:
(7.13).
Знайдемо похідну від товарообігу за ціною:
(7.14).
З необхідної умови екстремуму =0 знайдемо критичні точки:
(7.15).
Приведене
рівняння можна отримати з умови
.
Знайдемо залежність еластичності попиту від ціни:
(7.16).
4. Розглянемо порядок визначення максимального прибутку. Нехай собівартість продукції складається зі сталих затрат С та змінних затрат, пропорційних обсягу випуску продукції VD. У цьому випадку прибуток підприємства буде дорівнювати різниці між товарообігом у грошовому виразі і собівартістю продукції, тобто:
(7.17).
Знайдемо оцінку ціни, при якій прибуток буде максимальним. Якщо в деякій точці F досягає екстремуму, то в цій точці похідна дорівнює нулю. Знайдемо критичні точки:
тобто отримаємо квадратне рівняння:
Звідси отримаємо:
(7.18),
де
.
Точку
екстремуму знаходимо, дослідивши
регресію товарообігу. Припустимо, що
це буде значення
,
тоді оптимальна кількість продукції,
що випускається, визначається за
формулою:
,
(7.19)
а максимальний прибуток за формулою:
(7.20).
Наведену методику дослідження індивідуального ринку можна застосувати для залежності товарообігу від собівартості, яка має складніший характер.
У такому випадку для знаходження екстремальних точок необхідно застосовувати чисельні методи розв’язування рівнянь.