35. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и его решение.

Дифференциальное уравнение первого порядка y' = f(x,y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f(x,y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y:

где p(x) и h(y) − непрерывные функции. 

ассматривая производную y' как отношение дифференциалов  , перенесем dx в правую часть и разделим уравнение на h(y):

Разумеется, нужно убедиться, что h(y) ≠ 0. Если найдется число x₀, при котором h(x₀) = 0, то это число будет также являться решением дифференциального уравнения. Деление на h(y) приводит к потере указанного решения.  Обозначив  , запишем уравнение в форме:

Теперь переменные разделены и мы можем проинтегрировать дифференциальное уравнение:

где C − постоянная интегрирования.  Вычисляя интегралы, получаем выражение

описывающее общее решение уравнения с разделяющимися переменными.

36. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида

где p, q − постоянные коэффициенты.  Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение:

Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:

1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения k₁ и k₂ действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией

где C₁ и C₂ − произвольные действительные числа. 

2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k₁ второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k₁ = α + βi, k₁ = α − βi. Общее решение записывается в виде

Рассмотренные три случая удобно представить в виде таблицы:

37. Элемент комбинаторики: размещения, перестановки, сочетания, сво-во сочетания.

Размещения: из «n» элементов по «m» в каждом из которых по «m» элементов и отличаются такие соединения друг от друга самими элементами и их порядком.

Перестановка: называется из «n» элементов называются такие соединения в каждом из которых по «n» элементов и отличаются они друг от друга только порядком самих элементов.

Сочетания: из «n» элементов по «m» называются такие соединения в каждом из которых по «m» элементов и отличаются они друг от друга только самими элементами.

Свойства сочетаний:

1.

2.

3.

4.

5.

38. Виды событий. Примеры.

Достоверным событием называют событие которое обязательно произойдет в результате данного испытания ( восход солнца).

Событие которое никогда не произойдет при данном испытании называется невозможным.

Случайными событиями будут называться события которые могут произойти , а могут и не произойти при данном испытании

Совместными называются события если появление одного из них не исключает появление другого.

Два события называются несовместными если появление одного из них исключает появление другого.

Полной группой случайных событий называются события состоящие в появлении хотя бы одного из этих событий.

Два события называют противоположными если они не совместимы и образуют полную группу.

Равновозможными называются события если они имеют одинаковые шансы их появления.

Благоприятствующими исходами испытания называются исходы испытания при которых появляется случайное событие А.

39. Классическое определение вероятностей. Свойства вероятности.

ероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой

Р (A) = m / n,

где m - число элементарных исходов, благоприятствующих A; n - число всех возможных элементарных исходов испытания.

С в о й с т в о 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Р (A) = m / n = n / n = 1.

С в о й с т в о 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Р (А) = m / n = 0 / n = 0.

С в о й с т в о 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

0 < Р (А) < 1

40. Статическое определение вероятностей.

Статической вероятностью w(A) или относительной частотой называют отношение числа благоприятных данному событию исходов к общему числу фактически проведенных испытаний.

w(A)=nm

 Относительная частота события обладает свойством устойчивости:limn→∞P(∣ ∣  nm−p∣ ∣  <ε)=1  (свойство устойчивости относительной частоты)

41. Геометрическое определение вероятностей.

Пусть случайное испытание можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область G. Элементарные исходы – это отдельные точки G, любое событие – это подмножество этой области, пространства элементарных исходов G. Можно считать, что все точки G «равноправны» и тогда вероятность попадания точки в некоторое подмножество пропорционально его мере и не зависит от его расположения и формы.

Геометрическая вероятность события А определяется отношением:  ,  где m(G), m(A) – геометрические меры всего пространства элементарных исходов и события А

.Действия над событиями. Круги Эйлера

.

Суммой нескольких событий называется новое событие, которое произойдет тогда и только тогда, когда произойдет хотя бы одно из исходных событий (ИЛИ)

Произведение нескольких событий называется новое событие, которое происходит тогда, когда произойдут все исходные события. (И)

Разностью двух событий (A/B) называется новое событие, которогое произойдет тогда и только тогда, когда произойдет А и не произойдет В.

Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.

42. Теорема сложения вероятностей.

Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

            Следствие 1: Если события  образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.

Определение. Противоположными называются два несовместных события, образующие полную группу.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

 Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

43. Зависимые и независимые события. Условная вероятность.

Независимыми называются события A и B, если вероятность события A не зависит от того, наступило событие B или нет. 

Если вероятность наступления события A зависит от того, наступило событие B или нет, события называютзависимыми и вводят понятие условной вероятности. 

• Условной вероятностью события A при условии того, что произошло событие B, называют величину   . Соответственно, для зависимых событийp (AB) = p (B) p (A | B).

44. Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило.

Если события независимые, то , и теорема умножения вероятностей принимает вид:

 В случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии, что вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все остальные события уже совершились.

Из теоремы произведения вероятностей можно сделать вывод о вероятности появления хотя бы одного события.

Если в результате испытания может появиться п событий, независимых в совокупности, то вероятность появления хотя бы одного из них равна

45. Формула полной вероятности.

  Пусть событие A может произойти только вместе с одним из попарно несовместных событий H1, H2, ..., Hn, образующих полную группу. Тогда, если произошло событие A, то это значит, что произошло одно из попарно несовместных событий H1A, H2A, ..., HnA. Следовательно,

   Применяя аксиому сложения вероятностей, имеем

   Но   (i=1, 2, ..., n), поэтому

46. Формула Байеса.

Пусть   — полная группа событий, и   — некоторое событие, вероятность которого положительна. Тогда условная вероятность того, что имело место событие  , если в результате эксперимента наблюдалось событие  , может быть вычислена по формуле:

По определению условной вероятности,

47. Формула Бернулли.

Закон распределения Бернулли. Случайная величина , распределенная по закону Бернулли (индикаторная случайная величина), принимает значения: 1 – «успех» или 0 – «неудача» с вероятностями и соответственно

	0	1

 

Математическое ожидание случайной величины : .

Дисперсия: .