5. Системи масового обслуговуваня

Системою масового обслуговування (СМО) називається довільна система призначена для обслуговування деякого потоку заявок (напр. телефонна станція, ремонтна майстерня і т.д.)

Системи масового обслуговування поділяються на два види: на системи з відмовою та системи з очікуванням. У системі з відмовою заявка, що поступила в момент, коли всі канали заняті отримує відмову і покидає систему. В системі з очікуванням така заявка стає в чергу, не покидаючи системи, та очікує поки не звільниться який небудь канал. У цій моделі час очікування та число місць можуть бути як обмеженими так і необмеженимими. Система масового обслуговування називається пуассонівською, якщо всі потоки подій, що переводять систему з одного стану в інший є пуассонівськими.

Система масового обслуговування з відмовою характеризується наступними параметрами: кількістю каналів , щільністю потоку заявок, щільністю потоку обслуговування . Величина є обернена середньому часу обслуговування. Нехай − ймовірність того, що в момент часу зайнято каналів.

Для знаходження величин записують рівняння Ерланга

До цієї системи додають ще рівняння

+ + …+ =1.

Якщо в початковий момент вільними є всі канали, то початкові умови виглядають наступним чином:

, , ,…, .

Щоб знайти граничний режим, тобто випадковий процес, який встановиться в системі при , у заданій вище системі лінійних диференціальних рівнянь покладають . Тоді отримується система лінійних алгебраїчних рівнянь, розв’язки якої називаються формулами Ерланга

, де , .

Розглянемо ймовірнісні характерестики СМО з відмовою.

Ймовірність, того, що заявка, яка надійде у систему, отримає відмову .

Ймовірність того, що заявка, яка надійде у систему, буде прийнята до обслуговування (або пропускна здатність системи):

.

Абсолютна пропускна здатність системи:

.

Середня кількість каналів, зайнятих обслуговуванням заявок:

Приклад 11. Описати роботу системи масового обслуговування з відмовами, що має два канали, інтенсивність потоку заявок , інтенсивність потоку обслуговування . Знайти граничний стан системи, а також її ймовірнісні характеристики (ймовірність відмови, пропускну здатність, абсолютну пропускну здатність, середню кількість каналів, зайнятих обслуговуванням заявок).

Розв’язання. Запишемо рівняння Ерланга для даної системи:

або .

Оскільки рівняння цієї системи є лінійно залежними, то ми залишимо лише перші два з них і запишемо, що .

Після спрощення отримаємо систему

.

Розв’язуючи дану систему отримаємо розв’язки

;

;

.

Підставляючи початкові умови , , знайдемо, що , .

Остаточно, будемо мати

;

;

.

Знайдемо граничний режим:

;

;

.

Ймовірність відмови системи:

.

Пропускна здатність

.

Абсолютна пропускна здатність системи

.

Середня кількість заявок, що обслуговують заявки

.

Щоб дослідити роботу системи масового обслуговування з очікуванням записують систему, подібну до рівнянь Ерланга. Перші рывнянь цієї системи будуть аналогічні тим, що є для системи масового обслуговування з відмовою. Останнє ж рівняння матиме вигляд

.

Параметр − це величина, яка є оберено пропорційна середньому часу очікування заявки у черзі. Якщо , то ми отримуємо чисту систему масового обслуговування з відмовами, якщо ж , то ми отримуємо чисту систему з очікуванням. В усіх решта випадках кажуть, що маємо систему масового обслуговування змішаного типу.

Ймовірності того, що в системі знаходяться заявок( з яких обслуговуються, а решта очікують в черзі), знаходяться за формулами:

, якщо , де ;

, якщо .

Розглянемо ймовірнісні характеристики СМО з очікуваннями.

Середнє число заявок в черзі на обслуговування

.

Середнє число заявок, що знаходяться в системі

.

Середня тривалість перебування заявки в черзі

.

Середня тривалість перебування заявки в системі

.