8.4 Сходимость несобственных интегралов первого рода от функций произвольного знака.
Рассмотрим теперь признаки сходимости, когда подынтегральная функция может принимать значения любого знака.
Признак БольцаноКоши
Для того, чтобы интеграл сходился необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
.
Доказательство.
Снова рассмотрим функцию . По признаку БольцаноКоши, для существования конечного предела необходимо и достаточно выполнение условия
.
Но в нашем случае
и поэтому признак БольцаноКоши принимает форму, указанную в формулировке теоремы.
Следствие.
Если сходится
,
то сходится и
.
Доказательство.
По признаку БольцаноКоши
сходится
.
(Обратите внимание,
что написано так
,
а не так
;
интересно, почему
отсутствует знак модуля вокруг
интеграла?).
Но тогда
и мы получаем, что
,
откуда, по тому же самому признаку БольцаноКоши следует, что сходится.
Определение.
Если
сходится, то интеграл
называется абсолютно
сходящимся (или:
интеграл сходится
абсолютно).
Если же
сходится, но
,
то интеграл
называется неабсолютно
сходящимся (или:
интеграл сходится
не абсолютно).
Вообще говоря, a priori не очевидно, что неабсолютно сходящиеся интегралы существуют вообще. Например, оказывается, что когда речь идет о плоскости и так называемых двойных интегралах, неабсолютно сходящихся интегралов не существует, и все двойные интегралы сходятся только абсолютно. Но в одномерном случае такие интегралы существуют, и ниже будет приведен пример такого интеграла.
Признак БольцаноКоши не является «рабочим» признаком, им не проверяется вопрос сходимости какого-то конкретного интеграла. Но на его основе строятся рабочие признаки, два из которых и будут рассмотрены ниже. Но, прежде чем перейти к их изучению, приведем без доказательства одну теорему, которая называется
Вторая теорема о среднем. Пусть
1. Функция интегрируема на отрезке ;
2. Функция монотонна и ограничена на этом отрезке.
Тогда существует
точка
,
такая, что
.
Доказывать эту теорему мы не будем.
А теперь перейдем к изучению рабочих признаков сходимости несобственных интегралов.
Признак Дирихле.
Пусть
1. 
;
2. при
функция
монотонно убывает до нуля (запись:
).
Тогда
сходится.
Доказательство.
1. Из
первого ограничения теоремы
имеем
.
2. Из второго ограничения теоремы имеем
3. Возьмем любые
.
Тогда, используя вторую теорему о
среднем, получим
.
Так как сколь угодно мало, то, по признаку БольцаноКоши, сходится.
Следствие. Если
,
то сходятся следующие интегралы:
(при любых значениях
)
и
(при 0)
Доказательство.
Пусть
или
.
Тогда имеем
,
,
если 0. Поэтому, по признаку Дирихле, при 0 интегралы и сходятся. Последний интеграл сходится и при = 0 (он просто равен нулю).
Теперь мы можем рассмотреть
пример неабсолютно сходящегося интеграла.
Таким интегралом
является
.
Так как при
,
то этот интеграл сходится по признаку
Дирихле.
Рассмотрим теперь
.
Из достаточно очевидного неравенства
получаем
,
так как
(см. практический
признак сходимости), а
сходится по тому
же признаку Дирихле. Поэтому
и
сходится неабсолютно.
Признак Абеля.
Пусть
а) функции f (x) и g(x) определены на [a, +);
б) интеграл
сходится (не обязательно абсолютно!);
в) функция g(x) монотонна и ограничена.
Тогда интеграл сходится.
Доказательство.
Имеем
1.
сходится
;
2. функция
ограничена
.
3. В силу монотонности функции можно снова воспользоваться второй теоремой о среднем. Получаем, что для любых любые
,
и, по признаку БольцаноКоши, сходится.