17)Коэффициент детерминации r2. Отличие скорректированного коэффициента детерминации от обычного.

После проверки значимости каждого коэффициента регрес­сии обычно проверяется общее качество уравнения регрессии. Для этой цели, как и в случае парной регрессии, используется

коэффициент детерминации R , который в общем случае рас­считывается по формуле

Как отмеча­лось, в общем случае . Чем ближе этот коэффициент к единице, тем больше уравнение регрессии объясняет поведение У. Поэтому естественно желание построить регрессию с наи­большим R².

Для множественной регрессии коэффициент детерминации является неубывающей функцией числа объясняющих пере­менных. Добавление новой объясняющей переменной никогда не уменьшает значение R². Действительно, каждая следующая объясняющая переменная может лишь дополнить, но никак не сократить информацию, объясняющую поведение зависимой переменной. Это уменьшает (в худшем случае не увеличивает) область неопределенности в поведении У.

Иногда при расчете коэффициента детерминации для полу­чения несмещенных оценок в числителе и знаменателе вычи­таемой из единицы дроби делается поправка на число степеней свободы. Вводится так называемый скорректированный (ис­правленный) коэффициент детерминации:

(6.35)

Можно заметить, что является несмещенной оценкой общей дисперсии — дисперсии отклонений значений переменной У от . При этом число ее степеней сво­боды равно (n — 1). Одна степень свободы теряется при вычис­лении .

В свою очередь является несмещенной оцен­кой остаточной дисперсии — дисперсии случайных отклонений (отклонений точек наблюдений от линии регрессии). Ее число степеней свободы равно (n - m -1). Потеря (m + 1) степени свобо­ды связана с необходимостью решения системы (m + 1) линейно­го уравнения при определении коэффициентов эмпирического уравнения регрессии. Попутно заметим, что несмещенная оцен­ка объясненной дисперсии (дисперсии отклонений точек на ли­нии регрессии от ) имеет число степеней свободы, равное разно­сти степеней свободы общей дисперсии и остаточной дисперсии (n — 1) — (n- m -1) = m.

Соотношение (6.35) может быть представлено в следую­щем виде:

(6.36)

Из (6.36) очевидно, что < R² для m > 1. С ростом значения m скорректированный коэффициент детерминации рас­тет медленнее, чем (обычный) коэффициент детерминации R². Другими словами, он корректируется в сторону уменьшения с ростом числа объясняющих переменных. Нетрудно заметить, что = R² только при R² = 1. может принимать отрица­тельные значения (например, при R² = 0).

Доказано, что R увеличивается при добавлении новой объ­ясняющей переменной тогда и только тогда, когда t-статистика для этой переменной по модулю больше единицы. Поэтому до­бавление в модель новых объясняющих переменных осуществ­ляется до тех пор, пока растет скорректированный коэффици­ент детерминации.

Обычно приводятся данные как по R², так и по , яв­ляющиеся суммарными мерами общего качества уравнения регрессии. Однако не следует абсолютизировать значимость коэффициентов детерминации. Существует достаточно приме­ров неправильно специфицированных моделей, имеющих высо­кие коэффициенты детерминации (обсудим данную ситуацию позже). Поэтому коэффициент детерминации в настоящее вре­мя рассматривается лишь как один из ряда показателей, кото­рый нужно проанализировать, чтобы уточнить строящуюся модель.