§ 21. Преобразования с помощью вспомогательного

АРГУМЕНТА

Данное число а можно рассматривать как значение тригонометрической функции от некоторого аргумента, называемого вспомогательным углом, так как при любом значении а имеет место равенство tg (arctgа) = а и при |а|^1—равенства sin (arcsin а)=а и cos (arccos а )=а. Это позволяет пред­ставлять алгебраическую сумму любых двух чисел как алгебраическую сумму значений тригонометрических функций, а следовательно, применять

формулы преобразования алгебраической суммы тригонометрических функ­ций в произведение.

231. Преобразовать в произведение с помощью введения вспомо­гательного аргумента: 1) ₄/2sina+l; 2) >/34-tga; 3) 4cos² a— 1;

a+b; 5) a²+b².

О 1) _>/2sina+l = _>/2^sina+-^^ = _>/2^sina+sin^ =

-^■КиМн)

(⁷¹ \ ^ sin -+a 2sin —ha

/— 7i V з J V з /

2. ₄/34-tga = tg-4-tga= ^ L₌ \ /.

3. 7i cos a cos-cos a

3

3. 4cos²a— 1 =4^cos²a—^=4^cosa+^^cosa—^ = =4^cosa+cos^^cosa—cos^=4*2cos^4-^cos^—^2sin^+^x

^xsin(i-l)^=4sin(^a+i)^sin(^^a)^;

/ b\ ( к \ ^asin(|⁺⁽p)

231. Преобразовать в произведение 4 sin a 4-3 cos a.

О Представим данное выражение следующим образом:

4sina+3cosa=_x/4²4-3²( sina-l—■■ —cosa ) =

^v Jv+b² )

= 5 ((4/5) sin a 4- (3/5) cos a).

Так как (4/5)²4-(3/5)² = 1, то можно найти такой угол ф, что 4/5=cosф, 3/5 = sin ф. Тогда

4. sin a 4- 3 cos a = 5 (sin a cos ф + sin ф cos a)=5 sin (a 4- ф), где tgф = sinф/cosф = 3/4. Итак,

4. sin a 4- 3 cos a=5 sin (a 4- arctg (3/4)). #

231. Методом введения вспомогательного аргумента решить тригонометрическое уравнение sinx+_v/3cosx=2.

О Преобразуем в произведение левую часть данного уравнения:

К -/1 . Jb \ ( п . . п \

sinx+₄/3cosx=2l -smx+-^-cosx 1 = 21 cos - sin х+sin-cos* 1 =

( n\ = 2sinl x+- 1.

Таким образом,

71 _{л f}

ox=-+2пк. ф

6

Преобразуйте в произведение с помощью введения вспомога­тельного аргумента:

231. 1) 0,5+cosa; 2) 1—2cosa; 3) 1 —2sina; 4) l+2sina;

4. l+tga; 6) 1—tg²a; 7) 1— ctg² a; 8) >/3+2 cos a; 9) sin² a—0,75; 10) 1—^/^sina; 11) (a—b)/(a+b).

231. 1) _v/3sina—cosa; 2) 4sina—3cosa; 3) 2 sin a—y/5 cos a.

232. Решите уравнения: 1) ^/3 sinx—cosx= 1; 2) y/3sinx + +cosjc=2; 3) sinx+_x/3cosx = Уз-

§ 22. Смешанные задачи

231. Преобразуйте в суммы тригонометрических функций первой степени следующие произведения:

а За а .5а 1) 4 cos-cos a sin—; 2) 4cos-cosasin—;

' 2 2 2 2

„ а 5а 3) 4 cos -cos a cos—.

' 2 2

231. Упростите путем преобразования в суммы следующие произведения: 1) sin 20° sin 40° sin 60° sin 80°; 2) tg20° tg40°tg60° tg80°.

232. Преобразуйте в произведение:

1. sin a+sin 2a + sin 4a+sin 5a; 2) sin3a+sin2a + 2sin^cos^.

231. Решите уравнения:

1. sin^r+^cos^x-^=l; 2) sm(x+j)sin(*-^=-i. Докажите тождества:

231. 1) sin²acosa=(l/4Hcosa—cos3a);

2. sin³ a cos a=(1 /8) (2 sin 2a — sin 4a);

3. sin² a cos³ a=(1 /16) (2 cos a—cos 3a—cos 5a),

4. sin³ a cos³ a = (1/32) (3 sin 2a — sin 6a).

231. 1) 4 sin a sin 2a sin 3a = sin 2a+sin 4a —sin 6a;

2. 4 sin a sin P cos (a + P)=cos 2a+cos 2p—cos 2 (a + P) — 1;

3) sin

sin( -—a)cos2a=-+-cos4a.

) 4 4

9. sina—sin 2a—sin 4a+sin 5a

1) —=tg3a;

cos a—cos 2a—cos 4a+cos 5a

_₄ sin a+sin 3a+sin 5a+sin 7a

²) ^=ctga;

3)

4)

5)

cos a—cos 3a+cos 5a—cos 7a sin 80° — sin 70° cos 20°—cos 50°

sin29° —sin 19° cos31° + sin 11° ’ (cos a+cos (a/2))² — (sin a+sin (a/2))²

= ctg (a/4);

sin 2a—sina

2. 1 1

   cos (a—p)_ sin² (a—p) sin² a ' sin² p sin a sin P sin² a sin² p

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

1. вариант

1. Упростите

sin 87° - sin 59° - sin 93° + sin 61^G

2. Докажите тождество sin 10° sin 20° sin 70° sin 80° =

=(l /4) cos 50° cos 70°.

3. Докажите тождество

1. +sina+cosa =

2. вариант

1. Упростите

cos 65° + y/З sin 5° + sin 85°.

2. Докажите тождество cos 10° sin 20° cos 70° sin 80° =

=cos² 10° sin² 20°.

3. Докажите тождество

1. +sina—cosa =

^ a /я a\ ^ a /я a\

= 2V2cos-cosl ---J. ⁼2-»_v/2sm—cosl — — 1.

4. Решите уравнение

sin¹ x—cos⁴ x=sin 2л;.

5. Решите уравнение cos x—sin x=yfl sin 2л;.

ПРИ *-0

§ 23. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

ПРЕДЕЛ ОТНОШЕНИЯ

При вычислении пределов тригонометрических функций часто исполь­зуется предел отношения синуса дуги к самой дуге:

О 1) Очевидно, что при *-► —я/2 числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю. Разложив числитель и знаменатель на множители и сократив дробь на 1+sin*, получим

cos²* 1—sin²*

lim —г—= lim

> —тс/2 1+sin³* х->-к/2 (l + sin*)(l — sin*+sin² *) 1—sin* 1—sin(—7i/2) 1 + 1

= lim

jc->—тс/2 1— sin*+sin²* 1 — sin (—я/2) + sin² (—71/2) 1 + 1 + 1 3

2. Преобразуя заданное выражение и используя соотношение (9.71), получим

sin 4х 4 sin 4х 4 sin 4* 4 sin 4* 4 4

lim ——= lnn —— =hm—1——=- Inn ——=-1=-. jc-»o 3* _x-*o 4-3* _x-+o 3-4* 3 ₄*-0 4x 3 3

sin³2z /sin2z\³ / sin2z\³

2. lim r—= lim I I =81 lim —— I =81 = 8.

z-*0 Z z->0 \ Z J у 2z-*0 2Z J

)*■

^ sin³* /sin²* . \ //sin*\² . \ / sin*

lim—= lim I —r^- sin* 1 = lim I I J sin* 1=1 lim

*-►0 X jc-*0 \ X J jc-»0 \ \ X J ) \ jc-»0 X

x lim sin*= l² 0 = 0. jt->0

2. Преобразовав разность косинусов в произведение, получим

cos*—cos3* sin2*sin* , sin2* lim =2 lim =4 lim lim sin *=4 • 1 0 = 0. #

jt-»0 * x->0 * 2x->0 2* jc->0

ctgx arcsin3x

1) hm ■ , ; 2) lim .

Х-.Я/2 x-n/2 _x_₀ 2x

О 1) Введем подстановку x—n/2=y, тогда x=n/2+y, если *->я/2, то >>-►0. Следовательно,

Hm ^.lim^ag<^,/2+,,>—lim^=

х-*п12 Я у —►() У у —>0 У

^Х~2

sin V 1

= — lim—-lim =-11 = -1.

,->0 у у-+о cosy

2. Полагая arcsin 3*=а, имеем sina=3*. Произведем преобразования: arcsin 3* 3 arcsin 3* 3 а

Тогда получим 170

arcsin Зх

lim

aL^o\2smoiJ 2_a_»osina 2 2

*->0 2x Вычислите пределы:

231. sin x—cosx

     2) lim

     1) lim

231. 1) lim ¹ V^+ctg*. ₂) lim - ^tg*

jc-mi/2 ^ctg* *->0 yfb^tgX— 1

1\ г ^Зх r ^5a эч Г sin² (x/4) sin³3z

231. 1) lim-—-; 2) lim ; 3) lim V—4) lim—?—.

jc-»0 2* a-»0 COS 0C jc—>0 ^x _z_»o Z

ЭШ Л .. Э111 Л

252. 1) lim ; 2) lim—

x->0 ^x x->0 ^x

ix sin2xcosx 253. 1) lim ;

jc-»0 ^x

4) lim^sin2*^+sin'¹*; _{5) |im}

sin 2x sin x

sin 3x4-sinx

3) lim

x^O

jc-»0 ^x

cos 2x—cosx

2) lim

jc-0

x->0

cosx—1 sinx—tgx

*-я/2 ⁿl²~^X W2 ^Ct&^x

arcsin2z arctg 5x

254. 1) lim—- ; 2) lim—-=—.

z-> 0 '^z x^O 3x