27. Последовательность расчетов при проверке критериев Пирсона

О скрипте Х² критерий Пирсона

Шаг 1. Необходимо выбрать от 1 до 10 эмпирических распределений. Шаг 2. Нужно внести эмпирические данные в колонки эмпирических распределений (колонок будет столько, сколько Вы выбрали эмпирических распределений в шаге 1). Вводятся только положительные числа по одному на строку. Пробелы и пропуски строк не допустимы (скрипт выдаст ошибку). После ввода, нажимаете «Шаг 3» и получаете ответ. Шаг 3. Есть вывод расчетов и ответ. Для большей наглядности и проверке расчетов, рисуется таблица, в которой произведены все необходимые расчеты. Также рисуется таблица критических значений и выдается ответ.

28. Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина , распределение которой известно полностью или частично. Тогда любое утверждение, касающееся называется статистической гипотезой. Гипотезы различают по виду предположений, содержащихся в них:

-Статистическая гипотеза, однозначно определяющая распределение , то есть , где какой-то конкретный закон, называется простой.

-Статистическая гипотеза, утверждающая принадлежность распределения к некоторому семейству распределений, то есть вида , где  — семейство распределений, называется сложной.

На практике обычно требуется проверить какую-то конкретную и как правило простую гипотезу . Такую гипотезу принято называть нулевой. При этом параллельно рассматривается противоречащая ей гипотеза , называемая конкурирующей или альтернативной.

Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами, поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют критерии, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу.

В большинстве случаев статистические критерии основаны на случайной выборке фиксированного объема из распределения . В последовательном анализе выборка формируется в ходе самого эксперимента и потому её объем является случайной величиной (см. Последовательный статистический критерий).

Методика проверки статистических гипотез

Пусть задана случайная выборка— последовательность объектов из множества . Предполагается, что на множестве существует некоторая неизвестная вероятностная мера  .

Методика состоит в следующем.

1. Формулируется нулевая гипотеза  о распределении вероятностей на множестве  . Гипотеза формулируется исходя из требований прикладной задачи. Чаще всего рассматриваются две гипотезы — основная или нулевая и альтернативная  . Иногда альтернатива не формулируется в явном виде; тогда предполагается, что  означает «не  ». Иногда рассматривается сразу несколько альтернатив. В математической статистике хорошо изучено несколько десятков «наиболее часто встречающихся» типов гипотез, и известны ещё сотни специальных вариантов и разновидностей. Примеры приводятся ниже.

2. Задаётся некоторая статистика (функция выборки) , для которой в условиях справедливости гипотезы выводится функция распределения и/или плотность распределения  . Вопрос о том, какую статистику надо взять для проверки той или иной гипотезы, часто не имеет однозначного ответа. Есть целый ряд требований, которым должна удовлетворять «хорошая» статистика  . Вывод функции распределения при заданных  и  является строгой математической задачей, которая решается методами теории вероятностей; в справочниках приводятся готовые формулы для  ; в статистических пакетах имеются готовые вычислительные процедуры.

3. Фиксируется уровень значимости — допустимая для данной задачи вероятность ошибки первого рода, то есть того, что гипотеза на самом деле верна, но будет отвергнута процедурой проверки. Это должно быть достаточно малое число . На практике часто полагают .

4. На множестве допустимых значений статистики  выделяется критическое множество  наименее вероятных значений статистики  , такое, что . Вычисление границ критического множества как функции от уровня значимости является строгой математической задачей, которая в большинстве практических случаев имеет готовое простое решение.

5. Собственно статистический тест (статистический критерий) заключается в проверке условия:

   • если , то делается вывод «данные противоречат нулевой гипотезе при уровне значимости  ». Гипотеза отвергается.

   • если , то делается вывод «данные не противоречат нулевой гипотезе при уровне значимости  ». Гипотеза принимается.

Итак, статистический критерий определяется статистикой  и критическим множеством  , которое зависит от уровня значимости .

Замечание. Если данные не противоречат нулевой гипотезе, это ещё не значит, что гипотеза верна. Тому есть две причины.

• По мере увеличения длины выборки нулевая гипотеза может сначала приниматься, но потом выявятся более тонкие несоответствия данных гипотезе, и она будет отвергнута. То есть многое зависит от объёма данных; если данных не хватает, можно принять даже самую неправдоподобную гипотезу.

• Выбранная статистика может отражать не всю информацию, содержащуюся в гипотезе  . В таком случае увеличивается вероятность ошибки второго рода — нулевая гипотеза может быть принята, хотя на самом деле она не верна. Допустим, например, что = «распределение нормально»; = «коэффициент асимметрии»; тогда выборка с любым симметричным распределением будет признана нормальной. Чтобы избегать таких ошибок, следует пользоваться более мощными критериями.