7.6. Векторная функция скалярного аргумента

Эта часть высшей математики – приложения дифференциального исчисления к геометрии в пространстве.

Определение. Если каждому значению действительной пе-ременной поставлен в соответствие вектор , то говорят, что на множестве D задана вектор-функция действительной переменной t.

Множество D называют областью определения функции .

Задание вектор-функции равносильно заданию трех числовых функций – координат вектора :

или кратко .

Если вектор является радиусом-вектором точки , то соответствующую вектор-функцию принято обозначать

.

Очевидно, что область определения функций совпадает с D.

При различных значениях t положение конца вектора будет, вообще говоря, изменяться.

Определение. Годографом вектор-функции назы-вается линия, описываемая в пространстве концом вектора .

Таким образом, всякую линию в пространстве можно рассматривать, как годограф некоторой вектор-функции.

Точка O называется полюсом годографа. Выражение

называют векторно-параметрическим уравнением годографа, а

называют параметрическими уравнениями годографа.

П ример 7.6. Найти годограф вектор-функции

.

Решение.

Г одографом является парабола (рис. 7.4).

Рис. 7.4

7.7. Предел, непрерывность и производная векторной функции скалярного аргумента

Предположим, что .

Тогда говорят, что вектор есть предел вектора и пишут .

Из последнего равенства

.

Это означает, что . Если , то векторная функция называется непрерывной в точке . Рассмотрим вектор-функцию в точке М (рис. 7.5). Дадим t приращение , тогда получим вектор , который определяет на кривой некоторую точку М₁.

Рассмотрим вектор , который коллинеарен вектору . Тогда

.

Если имеют производные, то множители, стоящие при при обратятся в . Следовательно, в этом случае предел при существует и равен , т. е. .

Рис. 7.5

Определение. Вектор, определяемый последним равенством, называется производной от вектора по скалярному аргументу t.

Производную обозначают символом или . Итак,

Пример 7.7. Найти производную вектор-функции

.

Решение.

,

где

И так, .

С геометрической точки зрения вектор – это вектор, направленный по касательной к годографу функции в сторону возрастания параметра t.

С механической точки зрения есть вектор мгновенной скорости движения материальной точки по траектории, являющейся годографом функции .

7.8. Касательная прямая и нормальная плоскость к пространственной кривой

Канонические уравнения прямой, проходящей через точку имеют вид

.

Так как вектор коллинеарен , то в точке следующие уравнения

есть уравнения касательной к пространственной кривой .

П ример 7.8. Написать уравнения касательной к годографу

в точке , (это винтовая линия, рис. 7.6).

Рис. 7.6

Решение.

Подставив в формулу (7.2), имеем:

– уравнения касательной к винтовой линии в точке .

Плоскость, проходящая через точку касания и перпендикулярная к касательной, называентся нормальной плоскостью к кривой в этой точке.

Ее уравнение имеет вид:

П ример 7.9. Написать уравнение нормальной плоскости к винтовой линии в точке (см. предыдущий пример).

Решение. Так как все необходимые величины найдены, то имеем по формуле (7.3):

.