Практичне завдання Побудова та аналіз множинної лінійної економетричної моделі

Мета – закріплення теоретичного матеріалу та здобуття практичних навичок побудови та аналізу багатофакторної лінійної економетричної моделі.

Зміст завдання – за даними спостережень оцінити параметри моделі; побудувати довірчі інтервали для параметрів регресії; перевірити адекватність моделі загалом за допомогою коефіцієнтів детермінації та множинної корреляції, а також критерію Фішера; перевірити значущість кожного коефіцієнта регресії і коефіцієнта множинної кореляції за допомогою критерію Стьюдента; оцінити вплив кожного регресора на якість моделі на основі матриці парних кореляцій; обчислити прогнозні значення Y_пр для значень Х_1 пр, Х_2 пр, які перебувають за межами базового періоду й знайти границі довірчих інтервалів індивідуальних прогнозних значень і границі довірчих інтервалів середнього прогнозу.

Зробити висновки..

Методичні рекомендації

Нехай відома така інформація про значення залежної змінної (ВВП, млн грн) і незалежних змінних: Х₁ (витрати трудових ресурсів, млн грн), Х₂ (витрати основних фондів, млн грн), яка наведена у табл. 10.

Таблиця 10

Вихідні дані завдання й проміжні розрахунки

№	Y	X1	X2	(Y – )2		( – )2	e = Y –	е2
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	51,2	9,8	6,8	564,54	43,37	997,93	7,83	61,31
2	54,7	10,1	10,5	410,47	55,02	397,60	-0,32	0,10
3	65,6	10,9	12,2	87,61	65,13	96,63	0,47	0,22
4	53,3	10,4	12,8	469,16	63,08	141,13	-9,78	95,65
5	72,7	12,1	13,4	5,11	76,82	3,46	-4,12	16,97
6	75,7	12,8	13,8	0,55	82,86	62,41	-7,16	51,27
7	85,6	13,2	14,4	113,21	87,27	151,54	-1,67	2,79
8	91,5	13,6	14,6	273,57	90,66	246,49	0,84	0,71
9	96,7	12,3	16,5	472,63	86,21	126,56	10,49	110,04
10	102,6	13,5	18,2	763,97	99,18	586,61	3,42	11,70
Сума	749,6	118,7	133,2	3160,82	749,6	2810,36	0,00	350,75

Розглядається багатофакторна лінійна регресійна модель:

у = а₀ + а₁х₁ + а₂х₂ + … + а_mx_m,

яка описує залежність між результативною змінною у і деякими факторами, що впливають на цю змінну: х₁, х₂, …, х_m. Таким чином, для цієї задачі кількість спостережень n = 10, а число факторних змінних m = 2.

У матричній формі залежність має вигляд:

де = (Y₁, Y₂, …, Y_n) – вектор теоретичних значень залежної ознаки,

Х – матриця значень вихідних незалежних ознак розміру (n x 3),

= (а₀, а₁, а₂) – вектор оцінок параметрів моделі.

Оцінки параметрів можна одержати на основі 1МНК за наступним алгоритмом:

1. Незалежні змінні записати у вигляді матриці Х

.

2. Обчислити матрицю В = Х^ТХ і вектор Х^ТY, де Х^Т – транспонована матриця Х, Y – вектор спостережень залежної змінної.

;

3. Обчислити зворотну матрицю В^–1 = (Х^ТХ) ^–1.

де det B – визначник матриці В;

det B = b₁₁ b₂₂ b₃₃ + b₁₃ b₂₁ b₃₂ + b₁₂ b₂₃ b₃₁ – b₁₃ b₂₂ b₃₁ – b₁₁ b₂₃ b₃₂ – b₁₂ b₂₁ b₃₃ = 5529,93,

А_ij – алгебричне доповнення елемента b_ij матриці В.

А_ij = (– 1)^{i + j} M_ij,

де M_ij – мінор для елементу b_ij, тобто визначник матриці, отриманої з вихідної шляхом викреслення i-го рядка й j-го стовпця.

Матриця В^-1 буде мати вигляд:

4. Обчислити параметри моделі за формулою:

.

Таким чином, теоретична лінійна залежність між ВВП та витратами трудових ресурсів і основних фондів має вигляд:

.

Оскільки оцінювання параметрів лінійної множинної економетрич-ної моделі здійснювалося за даними спостережень, то природно, що ці оцінки будуть відхилятися від істинних значень відповідних параметрів. Оцінки середньоквадратичних відхилень параметрів обчислюються за формулою:

,

де – дисперсія відхилень фактичних значень ВВП від теоретичних;

– діагональний елемент матриці В^–1.

При практичних розрахунках замість величини беруть її незміщену оцінку:

Тоді

Отримані квадратичні помилки для параметрів можуть бути використані для визначення довірчих інтервалів цих параметрів (див. практичну роботу № 2).

Необхідно перевірити істотність кожного коефіцієнта регресії за допомогою t-критерію Ст'юдента.

Для оцінки істотності впливу фактору розрахуємо величини:

Отримані значення порівнюємо із критичним значенням tр для числа ступенів свободи k = n – m – 1 = 7 і рівня значущості α = 0,05 (tp = 1,895).

Оскільки значення |t_a1| і |t_a2| більше tp, дійдемо висновку, що отримані значення для коефіцієнтів a₁ і a₂ статистично значущі, тобто витрати трудових ресурсів та основних фондів істотно впливають на величину ВВП.

Оскільки |t_a0| > tp, то можна говорити про те, що вплив інших факторів, що не були враховані у моделі, також суттєвий, тобто має сенс розширити склад факторних ознак для цієї моделі.

Для перевірки адекватності отриманої моделі необхідно обчислити коефіцієнт детермінації. Вид коефіцієнта детермінації в множинній регресії ідентичний коефіцієнту детермінації простої регресії. Оскільки введення нових незалежних змінних х_i (i = 1,...,m) у множинну регресію, а значить і ступенів свободи моделі, приводить до зменшення коефіцієнта детермінації, то його розрахунок повинен бути скоректований з урахуванням ступенів свободи дисперсії залишків і загальної дисперсії:

де – дисперсія залишків, – загальна дисперсія:

Підстановка залежностей для дисперсій у формулу для коефіцієнта детермінації R² дає його вираження залежно від ступенів свободи (n – m – 1) і (n – 1):

Модель є адекватною, оскільки R² > 0,75. У цьому випадку 85,7 % загальної зміни ВВП пояснюється змінами витрат трудових ресурсів та основних фондів, у той час як на інші фактори доводиться лише 14,3 % зміни.

Коефіцієнт множинної кореляції є мірою тісноти зв’язку всіх пояснювальних змінних із залежною і визначається:

Чим ближче коефіцієнт R до 1, тим краще підібрана модель для опису залежності. Зв'язок між досліджуваними економічними явищами тісний, оскільки R > 0,7.

Необхідно перевірити істотність коефіцієнта множинної кореляції, тобто розглянути гіпотезу Н₀: R = 0 на основі t-критерію Ст'юдента:

Оскільки |t_R| > tp, то можна говорити про значущість коефіцієнта множинної кореляції.

Перевіримо статистичну значущість моделі загалом (зв'язку між залежною змінною Y и незалежними змінними Х₁ і Х₂) за допомогою критерію Фішера:

Розраховане значення статистики Фішера необхідно порівняти з табличним для числа ступенів свободи k₁ = 2, k₂ = 10 – 2 – 1 = 7, рівня значущості α = 0,05 (F_0,05 (2; 7) = 19,4). Оскільки 27,05 > 19,4, то приймається гіпотеза, що побудована модель є статистично значущою, тобто зв'язок між залежною та пояснювальними змінними істотний.

Необхідно оцінити вплив кожного регресора на якість моделі за допомогою коефіцієнтів парних кореляцій. Вони дають оцінку тісноти зв'язку між парами змінних: результуючою змінної у і факторною ознакою х_j; незалежними змінними x_i й x_j. Він розраховується за формулою:

або

Чим ближче цей коефіцієнт до 1, тим сильніше зв'язок між ознаками. На підставі r можна побудувати матрицю парних кореляцій:

Оскільки побудована множинна лінійна економетрична модель є адекватною і статистично значущою як по окремим параметрам так і в цілому, то отримане рівняння залежності ВВП від витрат трудових ресурсів та основних фондів може бути використане для прогнозу:

Y_пр = a₀ + a₁×X_{1 пр} + a₂×X_{2 пр}

При цьому оскільки на процес побудови моделі істотно впливає об'єм спостережень, то необхідно використати не тільки точкову оцінку прогнозу Y_пр, але й знайти довірчі інтервали:

Y_пр – ΔY_пр ≤ Y_пр ≤ Y_пр + ΔY_пр

;

Х^Т_пр = (1, Х_{1 пр}, Х_{2 пр})

Припустимо, що необхідно визначити прогнозне значення ВПП при Х^Т_пр = (1, 14, 17). Точкова оцінка прогнозу має вигляд:

Y_пр = – 44,385 + 7,174×14 + 2,567×17 = 99,69 (млн грн)

Довірчі інтервали прогнозу:

Інтервальний прогноз має вигляд:

99,69 – 7,81  Yпр  99,69 + 7,81

84,07  Yпр  107,5

Таким чином, якщо витрати трудових ресурсів у прогнозному періоді складуть 14 млн грн, а витрати основних фондів – 17 млн грн, то ВВП може скласти від 84,07 млн грн до 107,5 млн грн.