3). Действия над векторами. А). Действия над векторами - геометрические.

1. Сложение векторов.

а) правило «треугольника»

б ) вычитание векторов

в) правило «параллелограмма»

г) правило «параллелепипеда» - для сложения трех некомпланарных векторов:

Е сли - три ненулевых некомпланарных вектора,

то любой вектор в пространстве может быть представлен в виде:

, где

x, y, z – единственная тройка чисел – такое равенство называется разложением вектора по некомпланарным векторам.

Некомпланарными можно считать и базисные векторы , их координаты

, тогда получаем следующее разложение вектора по базису:

2. Умножение вектора на число.

Произведением ненулевого вектора на , есть вектор , имеющий направление вектора , если , и противоположно направлен вектору , если ; абсолютная величина этого вектора равна абсолютной величине вектора , умноженной на .

СВОЙСТВА:
Сложения	Произведения на число
1.	1.
2.	2.
3.	3.
	4.

Б). Векторы в прямоугольной системе координат.

Пусть 0ху – прямоугольная система координат, в которой заданы своими координатами точки . Тогда координатами вектора будут числа , т.е.,

Если 0xyz – прямоугольная система координат в пространстве, то, если то вектор имеет такие координаты: .

Т.е., чтобы найти координаты вектора, заданного координатами своих начала и конца, надо из каждой координаты конца вектора вычесть соответствующую координату начала вектора.

В). Действия с векторами, заданными в координатной форме

1. Сложение векторов:

аналогично, в пространстве

2. Умножение вектора на число:

аналогично, в пространстве

3. Модуль (абсолютная величина) вектора аналогично, в пространстве

4. Скалярное произведение векторов:

- число,

аналогично, в пространстве

- число.

Если векторы и образуют угол , то скалярное произведение этих векторов можно найти по формуле:

Но эта формула при непосредственном применении сложна, поэтому, после некоторых преобразований, она используется для нахождения угла между векторами:

,

аналогично, в пространстве

5. Векторное произведение векторов

Векторным произведением двух векторов называется третий вектор , длина которого равна

(1)

Вектор перпендикулярен векторам (следовательно, перпендикулярен плоскости этих векторов) и направлен так, что тройка векторов – правая, т.е. из конца вектора видно, что поворот вектора до совмещения с вектором по кратчайшему пути происходит против часовой стрелки.

Свойства векторного произведения

1. При перестановке сомножителей знак векторного произведения меняется на противоположный.

2. Скалярный множитель выносится за знак векторного произведения.

3. Векторное произведение равно рулевому вектору, если один из векторов нулевой или векторы коллинеарные.

Векторное произведение вычисляется по формуле:

(2)

Из формулы (1) следует, что модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, равна половине площади параллелограмма.