6.2 Гармонічні функції та їх властивості. Формули Гріна

Розглянемо властивості гармонічних функцій

1. Нехай - гладка замкнута поверхня, що належить області , - гармонічна функція. Тоді інтеграл по замкненій поверхні

, (6.8)

де - похідна у напрямі нормалі до поверхні , , , , - кути, що утворює зовнішня нормаль до поверхні з координатними осями, - диференціал площі.

2. Нехай - гармонічна функція. Тоді

, (6.9)

де – сфера радіусом з центром у точці .

Ця властивість стверджує, що середнє значення функції на будь-якій сфері усередині області дорівнює значенню цієї функції в центрі сфери.

3. Принцип екстремуму. Якщо - гармонічна функція в області , то будь-який локальний екстремум цієї функції досягається на межі області.

4. Якщо та - гармонічні функції в , причому , то всюди в .

5. Нехай - функція комплексної змінної .

Тоді і гармонічні функції в - околі т. .

Доведення першої властивості

Для гладкого векторного поля має місце формула Гаусса - Остроградського

, (6.10)

де - зовнішня нормаль до поверхні .

Нехай , або .

Тоді, підставивши до (6.10), будемо мати

, або

(6.11)

Формула (6.11) називається формулою Гріна.

Якщо в цій формулі узяти а буде довільною гармонічною функцією, то ліва частина формули (6.11) обернеться в нуль, а отже, буде справедлива рівність

Зваживши на те, що запишемо формулу Гріна (6.11) у вигляді

(6.12)

Помінявши місцями та в формулі (6.12), будемо мати

(6.13)

Віднявши від (6.12) формулу (6.13), отримаємо другу формулу Гріна

(6.14)

На площині її вигляд буде аналогічний (6.14).

6.3 Фундаментальний розв’язок рівняння Лапласа

Більшість задач для рівняння Лапласа розглядається у циліндричній та сферичній системах координат. У циліндричній системі координат рівняння Лапласа (6.4) має вигляд

. (6.15)

Відповідно в сферичній системі координат його можна записати як

(6.16)

Найпростішого вигляду рівняння Лапласа набуває у сферичній системі координат, коли векторне поле залежить лише від радіуса , а від кутів та не залежить. У цьому випадку маємо звичайне диференціальне рівняння другого порядку

(6.17)

Інтегруючи його, маємо

, (6.18)

де – сталі величини. Узявши, зокрема, , будемо мати частинний розв’язок рівняння у вигляді

(6.19)

Розв’язок (6.19) називають фундаментальним розв’язком рівняння Лапласа у просторі.

Аналогічно, узявши на площині ,

де - відстань між змінною точкою і фіксованою , загальний розв’язок рівняння Лапласа на площині у полярній системі координат можна записати як

(6.20)

Його розв’язок має вигляд

(6.21)

або для частинний розв’язок , або

(6.22)

Рівняння (6.22) називають фундаментальним розв’язком рівняння Лапласа на площині.