3.2. Аналитические методы получения математических моделей
технологических объектов управления
3.2.1. Модели элементов
Аналитические методы традиционны при рассмотрении формальных моделей элементов электропривода и в связи с этим наиболее знакомы студентам. Они базируются на знании фундаментальных закономерностей электромеханического преобразования энергии. Аналогичный подход возможен и при использовании гидравлических и пневматических приводов, он может быть распространен на элементы рабочего технологического оборудования.
Любая сложная силовая структура, состоящая из нескольких контуров, в которых происходит преобразование энергии из одного вида в другой, может быть разбита на отдельные элементы. Каждый из них осуществляет получение энергии, ее накопление, передачу другому элементу, расходование на полезную работу или рассеивание некоторой части энергии в виде потерь.
Знание природы элементов позволяет математически описать процессы преобразования энергии. Обобщив различные методики и формализовав связи одного элемента с другим, можно получить уравнения, описывающие процессы в сколь угодно сложных и разнородных силовых структурах технологических процессов. Рассмотрение только технологических процессов формообразования позволяет остановиться на системах с сосредоточенными параметрами и элементами.
Для получения обобщенных моделей элементов с сосредоточенными параметрами введем понятие разности потенциальных уровней U. Будем понимать под этим расход энергии на единицу преобразованного продукта. Введем также переменную количества Q — численную меру объема преобразуемого продукта. Произведение этих величин даст работу, необходимую для изменения на U потенциальных уровней количества продукта Q:
UQ = А.
Мощность, расходуемая на изменение потенциального уровня со скоростью dQ/ dt, определяется соотношением
P = U dQ/dt
Для иллюстрации приведены уравнения электрической и механической цепей:
электрическая цепь:
или
u = L di/dt + R i + 1/C i dt
где q — заряд; R, L, С - активное сопротивление резистора, индуктивность катушки и емкость конденсатора, включенных в цепь;
механическая цепь:
или
где J — момент инерции; , — угол и угловая скорость двигателя; ( = Мп/0— жесткость механической характеристики двигателя; k = = М/ — жесткость кинематического звена. Второе слагаемое второго уравнения момента характеризует суммарный момент сопротивления Мс.
Элементы, связанные соединениями, в которых не происходит накопления и преобразования вещества или энергии, образуют структуру системы, отражающую технологический процесс преобразования этих видов продуктов. Для анализа такой структуры используются два закона:
сумма расходов продукта в любом разветвлении равна 0:
(3.2)
сумма разностей уровней потенциалов в любом контуре равна 0:
(3.3)
Решение уравнений типа (3.2) и (3.3) может дать принципиально разные результаты.
Если многоконтурная система имеет один вход и один выход, то система дифференциальных уравнений первого порядка, описывающих процессы в элементах, даст дифференциальное уравнение, порядок которого определяется числом накопителей энергии в системе. Такие одноканальные (одномерные, односвязные) системы изучались в курсах "Теория электропривода", "Системы управления" и др.
Технологические объекты управления, как правило, являются многосвязными системами, имеющими несколько входов и выходов. Для них характерна зависимость каждого выхода от всех входов системы. Математическая модель такой системы представляет собой систему дифференцицальных уравнений различного порядка, в левой части каждого из этих уравнений фигурирует одна из выходных переменных, а в правой - все входные. Для анализа подобных систем их математические модели обычно представляют в матричной форме.