2.4. Для построенных в п.П. 1 и 2 кодов вычислить коэффициенты относительной эффективности и статистического сжатия. Проанализировать результаты.

Эффективность ОНК оценивают при помощи коэффициента статистического сжатия

K_c.c =H_max / l_cp =log₂ N/log₂ m* p_i l_i , (1)

Коэффициент относительной эффективности определяют по формуле (2):

K_oэ =H/l_cp = (- p_i log₂ p_i )/( log₂ m* p_i l_i ) , (2)

Рассчитаем эти коэффициенты для двух кодов:

1) для оптимального неравномерного двоичного кода, построенного методом Шеннона-Фано, рассчитаем коэффициент статистического сжатия, используя формулы (1)и (2), так как код двоичный.

K_c.c =H_max / l_cp =log₂ N/( p_i l_i );

К_c.c=log₂12/(2*(0.2*2+0.1*2+0.17*2+0.14*2+0.09*2+0.08*3+0.06*3+0.05*3+0.04*2+0.03*3+0.03*3+0.01*3) = log₂12/ (2*(0.4+ 0.2+0.34+0.28+0.18+0.24+0.18+0.15+0.08+0.09+0.09+0.03) = log₂12/(2* 2.26) = 3.585/4.52 = 0.793.

Для построенного оптимального неравномерного кода методом Хаффмана рассчитаем коэффициент статистического сжатия, используя формулу (1).

К_c.c=log₂12/(log₂3(0.2*2+0.1*2+0.17*2+0.14*2+0.09*2+0.08*3+0.06*3+0.05*3+0.04*2+0.03*3+0.03*3+0.01*3) = log₂12/(log₂3(0.4+ 0.2+0.34+0.28+0.18+0.24+0.18+0.15+0.08+0.09+0.09+0.03)= log₂ 12/ 1.585 * 2.26 = 3.585/ 3.5821 = 1.000.

2) Рассчитаем коэффициент относительной эффективности по формуле (3) для оптимального неравномерного двоичного кода, построенного по методу Шеннона-Фано.

K_oэ = H/l_cp = (- p_i log₂ p_i )/( p_i l_i );

K_oэ = - (0,2log₂0,2 + 0,1log₂0,1 + 0,17log₂0,17 + 0,14log₂0,14 + 0,09log₂0,09 + 0,08log₂0,08 + 0,06log₂0,06 + 0,05log₂0,05 + 0,04log₂0,04 + 0,03log₂0,03 + 0,03log₂0,03 + 0,01log₂0,01) / (0.4+ 0.2+0.34+0.28+0.18+0.24+0.18+0.15+0.08+0.09+0.09+0.03) =

= -(0.2(-2.3219)+0.1(-3.3219)+ 0.17(-2.5564)+0.14(-2.8365)+ 0.09(-3.4739)+0.08(-3.6439)+0.06(-4.0589)+ 0.05(-4.3219)+0.04(-4.6439)+0.03(-5.0589)+0.03(-5.0589)+0.01(-6.6439) =

= 0.4644+0.3322+0.4346+0.3971+0.3127+0.2915+0.2435+0.2161+0.1858+0.1518+0.1518+0.0664 =3.2479/ 2.26 = 1.437.

Для построенного оптимального неравномерного кода методом Хаффмана рассчитаем коэффициент относительной эффективности по формуле (3).

K_oэ =H/l_cp =(- p_i log₂ p_i )/( log₂ m* p_i l_i );

K_oэ= - (0,2log₂0,2 + 0,1log₂0,1 + 0,17log₂0,17 + 0,14log₂0,14 + 0,09log₂0,09 + 0,08log₂0,08 + 0,06log₂0,06 + 0,05log₂0,05 + 0,04log₂0,04 + 0,03log₂0,03 + 0,03log₂0,03 + 0,01log₂0,01) / log₂3(0.2*2+0.1*2+0.17*2+0.14*2+0.09*2+0.08*3+0.06*3+0.05*3+0.04*2+0.03*3+0.03*3+0.01*3) = 3.2479/ 1.585* 2.26 = 3.2479/ 3.5821 = 0.907.

Вывод: в данной контрольной работе были построены два оптимальных неравномерных кода по методу Шеннона-Фано и Хаффмена – это две универсальные методики построения ОНК. Неоднозначность методики Шеннона-Фано тем заметнее, чем выше основание кода m₂ и чем меньше m₁, но в данной задаче неоднозначности не наблюдается, так как m₂ =2 и m₁=12.

К недостатку методик построения ОНК методом Хаффмена следует отнести громоздкость построения с ростом m_1, поэтому надо использовать метод. Шеннона-Фано. Преимущество метода Хаффмена сказывается с ростом основания кода m₂. Более короткая длина кодовых слов во вторичном алфавите получается за счет оптимального выбора количества вершин на самом низком уровне кодового дерева. Несоблюдение этих условий приводит к кодам с большой средней длиной кодовых слов. Из расчета коэффициентов статистического сжатия для метода Шеннона-Фано видно, что энтропия кодируемого первичного алфавита H=log₂ N=3.2479 бит/символ близка к среднему числу двоичных знаков на букву кода L= p_i l_i =3, где l_i длина i-й кодовой комбинации; p_i –вероятность появления i-го символа комбинации длиной в l_i.

Если H=L, то код является оптимальным для данного ансамбля. Коэффициент статистического сжатия К_c.c =0.793 – характеризует уменьшение количества двоичных знаков на символ сообщения при применении ОНК по сравнению с применением методов нестатистического кодирования.

Для ОНК, построенного методом Хаффмена можно сделать такие же выводы:

H=log2 N=3.2479 бит/символ и L = p_i l_i =3,, К_c.c = 1.000 – код более оптимальный.

Для ОНК по методу Шеннона-Фано K_oэ =1.437 –показывает насколько используется статистическая избыточность передаваемого сообщения, код обладает высокой эффективностью.

Для ОНК по методу Хаффмена K_oэ =0.907– более эффективный, чем первый метод.

Таким образом, преимущество оптимальных кодов состоит в том, что они позволяют вести передачу информации с оптимальной скоростью. Недостаток состоит в том, что оптимальные коды наиболее беззащитны от влияния помех, т.е. обладают наименьшей помехоустойчивостью.