Примеры решения задач

Пример 1. Дано уравнение движения точки: S = 0,36t² + 0,18t. Определить скорость точки в конце третьей секунды движения и среднюю скорость за первые 3 секунды.

Решение

1. Уравнение скорости

S' = 2 • 0,36t + 0,18; v = 0,72t + 0,18.

2. Скорость в конце третьей секунды (t = Зс) v₃ = 0,72 * 3 + 0,18 = 2,34м/с.

3.Средняя скорость V_ср = dS/dt = (0,36 • 3²+ 0,18 * 3)/3 = 1,26 м/с.

Пример 2. Точка движется по кривой радиуса г = 10 м соглас­но уравнению S = 2,5t² + 1,2t + 2,5 (рис. 9.6).

Определить полное ускорение точки в конце второй секунды движения и указать направление касательной и нормальной состав­ляющих ускорения в точке М.

Решение

1. Касательное ускорение определяется как a_t = dV/dt

Уравнение скорости: v = dS/dt

Скорость будет равна v = 2 * 2,5t + 1,2; v = 5t + 1,2 (м/с).

Касательное ускорение: а_t = v' = 5 м/с².

Вывод: касательное ускорение не зависит от времени, оно посто­янно.

2. Нормальное ускорение: а_п = v²/r

Скорость на второй секунде будет равна v₂ = 5*2 + 1,2 = 11,2 м/с.

Величина нормального ускорения: а_п2 = (11,2)²/10 = 12,54 м/с² .

3. Полное ускорение:

Полное ускорение в конце второй секунды:

4. Нормальное ускорение направлено перпендикулярно скорости к центру дуги.

Касательное ускорение направлено по касательной к кривой и совпадает с направлением скорости, т. к. касательное ускорение — положительная величина (скорость растет).

Пример 3. По дуге, равной ¹/₄ длины окружности радиуса г = 16м (рис. 1.110), из положения А₀ в положение A₁ движется точка согласно уравнению s = πt². Определить скорость точки в момент, когда она проходит середину длины дуги A₀A₁, и в момент достижения положения A₁.

Решение

1. Е сли длина дуги А₀А₁ равна ¹/₄ длины окружности, то середина дуги А находится от начала отсчета А₀ на расстоянии ¹/₈ окружности, т, е.

2. Из заданного уравнения движения s = πt² нахо­дим, что точка после начала движения достигает се­редины дуги через промежуток времени

2. Продифференцировав уравнение движения, най­дем уравнение скорости:

2. Подставив значение t = 2 с в уравнение скорос­ти, найдем

5. Проводим в точке А (середину дуги A₀A₁) касательную к траектории и изобразим вектор скорости v (рис. 1.110).

Скорость точки в конце траектории (в положении A₁) рекомендуется найти самостоятельно. (Ответ: 17,8 м/с.)

Пример 4. Для точки, движение которой рассматривалось в примере 3, определить ускорения а и a₁ соответственно для положений точки в А и A₁.

Решение

1. Точка движется согласно уравнению s = πt²; следовательно, v =2st и из формулы

м одуль касательного ускорения от време­ни не зависит, значит при любом поло­жении точки на траектории ее касатель­ное ускорение a_t = 6,28 м/с².

2. Как известно из примера 1.19, в момент, когда точка занимает на траекто­рии положение А, ее скорость v = 4π = 12,6 м/с. Следовательно, в этот мо­мент значение нормального ускорения

3. Находим направление ускорения а точки в момент, когда она проходит положение A, используя третью из формул (рис. 1.113):

4. Находим модуль ускорения точки, используя первую из формул (1.90):

Рекомендуется самостоятельно проверить полученный результат по форму­ле (1.89), а затем найти модуль и направление ускорения точки в положении (Ответ: a_t=20,8 м/с²; а₁«72°30'.)