5.5 Гомология

Рассмотрим коллинеации, которые изучают в проективной геометрии. Напомним, что точки, инцидентные (принадлежащие) одной прямой, называются коллинейными.

Отображение плоскости на плоскость, в котором коллинейные точки переходят в коллинейные точки, называется коллинеацией. Из этого следует, что произведение коллинеаций есть коллинеация.

5.5.1 Теорема Дезарга

Простейший пример коллинеации – перспектива, или центральное проецирование плоскости на плоскость (рисунок 5.11).

В этом случае говорят, что треугольники и находятся в перспективном соответствии, т.е.

Здесь имеет место теорема Дезарга:

Если прямые , и , соединяющие соответственные вершины данных треугольников, проходят через одну точку ( ), то соответственные стороны этих треугольников пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой ( ).

В данном случае это прямая с точками , и , которые коллинейны: .

Доказательство. Прямые и как пересекающиеся в точке определяют плоскость . В плоскости лежат стороны и данных треугольников, поэтому стороны и пересекаются в точке, которую обозначим через . Точка должна принадлежать трем плоскостям: плоскости (как точка прямой ), плоскости (как точка прямой ) и плоскости , в которой лежат обе прямые ( и ).

Рисунок 5.11 – Центральное проецирование плоскости на плоскость

Таким образом, в плоскости имеем, что . Но так как , а , то и . Поэтому, , где . Следовательно, .

Аналогичным образом рассматривается положение точек и . Теорема Дезарга доказана.

Обратная теорема Дезарга:

Если соответственные стороны , ; , и , двух данных треугольников пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой – линии пересечения плоскостей данных треугольников, то прямые, соединяющие соответственные вершины этих треугольников, проходят через одну точку .

Доказательство сводится к следующему. Каждая пара соответственных сторон определяет плоскость. Три полученные таким образом плоскости образуют трехгранник, вершиной которого служит точка , как точка пересечения этих плоскостей. Эти же плоскости попарно пересекаются по прямым , , . Следовательно, прямые , и являются ребрами трехгранника и проходят через его вершину , что и требовалось доказать.

Рассмотренные на рисунке 5.11 соответственные треугольники расположены в разных плоскостях. Теперь рассмотрим случай, когда треугольники и расположены в одной плоскости (рисунок 5.12). Эти треугольники обладают тем же свойством: прямые , и , соединяющие попарно соответственные вершины, проходят через одну точку . Требуется доказать, что соответственные стороны данных треугольников пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой .

Доказательство этого положения производится посредством пространственной теореме Дезарга. Здесь точка – произвольная точка пространства, , тогда – центральная проекция : , . Тогда можно рассматривать, как центральную проекцию пирамиды . Вершины , , являются проекциями точек , , .

К треугольникам и может быть применена пространственная теорема Дезарга, т.е. построены точки , и

К треугольникам и также применима пространственная теорема Дезарга, т.е. получены те же точки , и

На самом деле, и , следовательно, . Аналогичны рассуждения для точек и , где .

Рисунок 5.12 – Треугольники и расположены в одной плоскости

Таким образом, имеем последовательное выполнение двух перспектив:

,

,

которые рассматриваем как произведение

, или .

Дадим более строгую формулировку прямой теореме Дезарга:

Если три прямые, принадлежащие соответственным вершинам треугольников, принадлежат одной и той же точке, то три точки, принадлежащие соответственным сторонам этих треугольников, принадлежат одной и той же прямой.

Применим к этой теореме принцип двойственности на плоскости, т.е. заменим слово «точка» – словом «прямая», а слово «прямая» – словом «точка». Тогда будем иметь обратную теорему Дезарга:

Если три точки, принадлежащие соответственным сторонам двух треугольников, принадлежат одной и той же прямой, то три прямые, принадлежащие соответственным вершинам этих треугольников, принадлежат одной и той же точке.

5.5.2 Конфигурация Дезарга

Из рисунка 5.12 рассмотрим на плоскости ту фигуру (конструкцию) которую образуют два треугольника и вместе с тремя прямыми , и , проходящими через одну точку , и тремя точками , , , лежащими на одной прямой (рисунок 5.13).

Представленная коллинеация называется гомологией. Все точки прямой и точка – двойные точки гомологии. Точка называется центром гомологии, а прямая – осью гомологии. Ось гомологии и прямые, проходящие через ее центр – это двойные прямые гомологии.

Соответствующие в гомологии треугольники и (рисунок 5.13) являются дезарговыми (гомологичными) треугольниками, центр гомологии – дезарговой точкой, ось гомологии – дезарговой прямой, а сама представленная фигура на этом рисунке называется конфигурацией Дезарга.

Эту фигуру (рисунок 5.13) образуют:

– десять точек (шесть вершин двух треугольников – , , и , , ; одна точка пересечения прямых, соединяющих соответственные вершины треугольников, и три точки пересечения соответственных сторон – , и );

– десять прямых (шесть сторон двух треугольников – , , и , , ; три прямые, соединяющие соответственные вершины – , и , и одна прямая , на которой лежат точки пересечения соответственных сторон треугольников).

Рисунок 5.13 – Конфигурация Дезарга

Здесь имеет место, следующее свойство этой фигуры: каждой из десяти прямых принадлежат три точки фигуры, а каждой из десяти точек принадлежат три прямые той же фигуры.

Фигуры, состоящие из точек и прямых и обладающие тем свойством, что каждой прямой принадлежит точек и каждой точке принадлежит прямых той же фигуры, называются конфигурациями. Каждую конфигурацию характеризуют, как видно из ее определения, четыре числа , , , . Поэтому для обозначения конфигураций можно пользоваться следующим символом:

.

Числа , , и не являются независимыми. В самом деле, подсчитаем число точек конфигурации, пользуясь тем фактом, что на каждой ее прямой имеется точек. Получим число , при этом каждая точка будет сосчитана столько раз, сколько прямых конфигурации проходит через одну точку, т.е. раз. Следовательно, должны иметь:

или .

Такова зависимость четырех чисел , , , . Из этой формулы также следует, что для тех конфигураций, которые содержат одинаковое число точек и прямых , будем иметь: .

Поэтому таким конфигурациям соответствует более простой символ:

.

Рассмотренная выше конфигурация Дезарга состоит из десяти точек, инцидентных каждая трем прямым, и из десяти прямых, инцидентных каждая трем точкам. Следовательно, этой конфигурации соответствует символ:

.

Все точки и все прямые конфигурации Дезарга равноправны, т.е. любая точка может быть принята за точку .

Конфигурации, обладающие этим свойством, называются правильными. Таким образом,

– правильная конфигурация.

5.5.3 Виды преобразований как частные случаи гомологии

Гомологию можно задать (рисунок 5.13):

– центром ( ), осью ( ) и парой соответственных точек, коллинейных с центром;

– центром ( ), осью ( ) и парой соответственных прямых, пересекающихся на оси;

– парой соответственных дезарговых (гомологичных) треугольников ( и ).

В общем случае центр гомологии не лежит на оси гомологии , т.е. , Такая гомология называется гиперболической.

Рассмотрим возможные другие варианты возможного взаимного расположения центра S и оси s гомологии, которые могут быть не только собственными, но и несобственными ( и ) (таблица 5.1).

В случае, когда центр гомологии принадлежит оси гомологии ( ), будет иметь место элация, или параболическая гомология (рисунок 5.14).

Рисунок 5.14 – Параболическая гомология (элация)

Таблица 5.1 – Гомология и ее частные виды

Ось гомологии,	Центр гомологии,
	– собственная точка	– несобственная точка
– собственная прямая	– гиперболическая гомология (рисунок 5.13)	– перспективно-аффинное преобразование, или родство (рисунок 5.17); возможны специализации: косая симметрия (рисунок 2.7); осевая (ортогональная) симметрия (рисунок 2.8); поворот (рисунок 5.19; сжатие, растяжение относительно прямой (рисунок 5.20)
	– параболическая гомология, или элация (рисунок 5.14)	– сдвиг – элация с несобственным центром, рисунок 5.21
– несобственная прямая	– гомотетия (рисунок 5.15); если гомотетия инволюционная – центральная симметрия (рисунок 5.16)	– трансляция, или перенос – элация с несобственной осью (рисунок 5.22)