1.5 Определение устойчивости замкнутой системы по частному критерию Михайлова

Критерий Михайлова основан на анализе характеристического уравнения замкнутой системы.

Выпишем, полученное ранее, характеристическое уравнение замкнутой системы:

Сделаем подстановку p=j*ω

Отделим вещественную часть от мнимой части и запишем их отдельными функциями:

Изменяя ω конец вектора F(jω) описывает кривую, которая называется характеристической кривой или кривой Михайлова.

Если при изменении ω от 0 до ∞ составим таблицу:

ω	P(ω)	Q(ω)
0	10	0
1	9,82	3,594
2	9,28	7,092
3	8,38	10,398
4	7,12	13,416
5	5,5	16,05
6	3,52	18,204
7	1,18	19,782
8	-1,52	20,688
9	-4,58	20,826
10	-8	20,1
11	-11,78	18,414
12	-15,92	15,672
13	-20,42	11,778
14	-25,28	6,636
15	-30,5	0,15
16	-36,08	-7,776
17	-42,02	-17,238
18	-48,32	-28,332
19	-54,98	-41,154
20	-62	-55,8
∞	∞	∞

Таблица 1 – Данные для построения кривой Михайлова

Рисунок 5 – Кривая Михайлова

Кривая Михайлова последовательно обходит 3 квадранта, поэтому система устойчива.

Рисунок 6 – Критерий перемежаемости

Исходя из графика, можно сказать, что система устойчива.

1.6 Определение устойчивости системы по частотному критерию Найквиста

Критерий Найквиста позволяет оценить устойчивость замкнутой системы по поведению системы в разомкнутом состоянии. В основе критерия лежит не характеристическое уравнение замкнутой системы, а передаточная функция разомкнутой системы.

Для устойчивости замкнутой системы, устойчивой в разомкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы АФХ не охватывала критической точки с координатами (-1; j₀).

Запишем передаточную функцию разомкнутой системы:

Перейдем в частотную область, полагая что p=j*ω:

Для того, чтобы отделить мнимую часть от вещественной, умножаем передаточную функцию разомкнутой системы на сопряженное:

Отделим вещественную часть от мнимой:

Задаваясь ω от 0 до ∞ составим таблицу:

ω	P(ω)	Q(ω)
0	9	0
1	10,901932	-3,85914
2	30,894737	-21,3105
3	-16,52909	18,02659
4	-5,106729	7,354756
5	-2,70894	4,865696
6	-1,721538	3,707012
7	-1,203283	3,021338
8	-0,893085	2,562015
9	-0,691158	2,230134
10	-0,551736	1,977797
11	-0,45115	1,778772
12	-0,376062	1,617389
13	-0,318451	1,483661
14	-0,273243	1,3709
15	-0,237092	1,274444
16	-0,207715	1,190934
17	-0,18351	1,117888
18	-0,163325	1,053428
19	-0,146311	0,996104
20	-0,131836	0,944778

Используя электронную таблицу Excel построим характеристическую кривую:

Рисунок 7 – Характерная кривая

Из вида кривой следует, что она не охватывает критической точки с координатами (-1; j₀)? следовательно система является устойчивой.