Связь линейных и угловых физических (в радианах) и технических (в оборотах) величин

угловой путь в радианах, угловая скорость в радианах в секунду,

угловой путь в оборотах, угловая скорость в оборотах в секунду,

линейный путь в метрах, линейная скорость в метрах в секунду,

радиус траектории движения точки.

, , , ,

, , .

Плоское движение

Плоское движение (качение тел) – сумма поступательного движения тела со скоростью центра масс (все точки тела движутся одинаково) и вращательного вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс тела, с линейной скоростью ( , радиус колеса, шара, цилиндра и т. д.).

– результирующая скорость для любой точки тела.

Точка касания опоры

Если тело движется без проскальзывания, то в точке касания опоры его скорость равна нулю, т. е. а это значит, что . В этом случае сила трения скольжения есть, а ее работа равна нулю, так как нет движения одного тела по поверхности другого.

Тесты с решениями

1. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью, проекция которой изменяется со временем, как показано на графике. Угловое перемещение (в радианах) в промежутке времени от 4 с до 8 с равно..0

Решение

По определению площадь под кривой от .

Площадь первого треугольника с учетом знака (от 4 с до 6 с) – это поворот на угол (угловое перемещение)

Площадь второго треугольника с учетом знака (от 6 с до 8 с) – поворот на угол

(т. е. в обратном направлении). Следовательно, с 4 с по 8 с тело повернется на угол рад.

Примечание. Достаточно было посчитать площади треугольников в клеточках, чтобы понять, что ответ 0.

2

от 0 до и от до

от 0 до и от до

_от до и от до

от 0 до   и от  до

. Диск вращается вокруг своей оси, изменяя проекцию угловой скорости  так, как показано на рисунке. Вектор угловой скорости  и вектор углового ускорения  направлены в одну сторону в интервалы времени …

Решение

Вектор угловой скорости  и вектор углового ускорения  направлены в одну сторону при ускоренном вращении, т.е. когда модуль ω растет со временем. Построим зависимость ω от .

Следовательно, растет на участках от 0 до и от до .

3. Частица из состояния покоя начала двигаться по дуге окружности радиуса R = 2 м с угловой скоростью, модуль которой изменяется с течением времени по закону ω = 2t². Отношение нормального ускорения к тангенциальному через 2 секунды равно …8

		8
		4
		1
		2

Решение

Нормальное ускорение частицы равно

где R – радиус кривизны траектории.Тангенциальное ускорение определяется выражением

Следовательно, отношение нормального ускорения к тангенциальному через 2 с равно

4. Диск катится равномерно по горизонтальной поверхности со скоростью без проскальзывания. Вектор скорости точки А, лежащей на ободе диска, ориентирован в направлении…

3

1

2

4

Решение

Качение однородного кругового цилиндра (диска) по плоскости является плоским движением, которое можно представить как совокупность двух движений: поступательного, происходящего со скоростью  центра масс, и вращательного вокруг оси, проходящей через этот центр (скорость направлена по касательной к окружности). Тогда (см. теоретическую часть). Вектор скорости  точки А ориентирован в направлении 3.

Примечание. Отсутствие проскальзывания никакой роли не играет.

5. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси. Скорость точки, находящейся на расстоянии 10 см от оси, изменяется со временем в соответствии с графиком, представленным на рисунке. Угловое ускорение тела (в единицах СИ) равно …

5

0,5

0,05

50

Решение:

Так как модуль скорости растет линейно, то это равноускоренное движение по окружности. Тогда

и > 0.

Тангенциальное ускорение связано с угловым уравнением . Тогда

рад/с² или с^-2.

6. Точка М движется по спирали с равномерно убывающей скоростью в направлении, указанном стрелкой. При этом величина полного ускорения точки …

уменьшается

увеличивается

не изменяется

равна нулю

Решение

Величина полного ускорения определяется соотношением , где  и – проекция тангенциального и нормального ускорения соответственно

где R – радиус кривизны траектории. Так как по условию скорость убывает равномерно (т. е. линейно с ростом t), то

Так как по условию скорость убывает, а радиус кривизны траектории R растет (смотри рисунок), то

уменьшается. Таким образом, полное ускорение точки уменьшается.

7

увеличивается

уменьшается

не изменяется

равна нулю

. Точка М движется по спирали с постоянной по величине скоростью в направлении, указанном стрелкой. При этом величина нормального ускорения …

Решение

Так как по условию скорость постоянна, а радиус кривизны траектории R растет (смотри рисунок), то величина нормального ускорения

8 . Точка М движется по спирали с постоянным по величине нормальным ускорением в направлении, указанном стрелкой. При этом проекция тангенциального ускорения на направление скорости

меньше нуля

больше нуля

равна нулю

Решение

Так как нормальное ускорение

то

Так как со временем (с ростом t) радиус R (смотри рисунок) уменьшается, то уменьшается и Тогда проекция тангенциального ускорения на направление скорости

9 . Материальная точка М движется по окружности со скоростью . График зависимости от времени ( – единичный вектор положительного направления, – проекция на это направление) показан на рисунке. При этом для нормального и тангенциального ускорений выполняются условия

= 0, > 0

> 0, = 0

= 0, = 0

• > 0, > 0

Решение: Так как и линейно зависит от времени, то где положительная константа. Тогда

Следовательно, > 0, > 0.

10. Материальная точка М движется по окружности со скоростью . График зависимости от времени ( – единичный вектор положительного направления, – проекция на это направление) показан на рисунке. При этом для нормального и тангенциального ускорений выполняются условия

• – увеличивается, – постоянно

– постоянно, – постоянно

– увеличивается, – величивается

– постоянно, – увеличивается

Решение: Так как и линейно зависит от времени, то где положительная константа, и

Следовательно, – увеличивается, – постоянно.

11. Тело движется с постоянной по величине скоростью по траектории, изображенной на рисунке. Для величин полного ускорения тела в точках А и В справедливо соотношение …

Решение

Величина полного ускорения , где  и – проекции  тангенциального и нормального ускорения соответственно. По определению

где R – радиус кривизны траектории. По условию скорость постоянна. Тогда

Так как радиус кривизны траектории в точке А (смотри рисунок) меньше, чем в точке В, то, следовательно, полное ускорение в точке А больше, чем в точке В.

12. Камень бросили под углом к горизонту со скоростью . Его траектория в однородном поле тяжести изображена на рисунке. Сопротивления воздуха нет.

Нормальное ускорение  на участке А-В-С …

уменьшается

увеличивается

не изменяется

Р ешение

Разложим вектор ускорения на нормальную и тангециальную составляющие

,

Так как угол уменьшается от до 0, а растет от до на участке А-В-С, то увеличивается на подьеме до , а уменьшается до 0.

13. Камень бросили под углом к горизонту со скоростью . Его траектория в однородном поле тяжести изображена на рисунке. Сопротивления воздуха нет.

Модуль полного ускорения камня …

• во всех точках одинаков

максимален в точках А и Е

максимален в точках В и D

максимален в точке С

Решение

Величина полного ускорения равна так как определяется единственной силой тяжести, действующей на тело после начала броска. Следовательно, модуль полного ускорения камня во всех точках одинаков.

14. Материальная точка М движется по окружности с постоянным тангенциальным ускорением. Если проекция тангенциального ускорения на направление скорости отрицательна, то величина нормального ускорения

• уменьшается

увеличивается

не меняется

Решение

Так как

то

и скорость уменьшается. Так как уменьшается, а , то

также уменьшается.

Примечание. Под постоянным тангенциальным ускорением, видимо, понимается модуль или проекция, так как вектор тангенциального ускорения при криволинейном движении всегда изменяется. Постоянство модуля (проекции) тангенциального ускорения никакой роли не играет. Важно только то, что проекция тангенциального ускорения отрицательна.

15. Частица движется вдоль окружности радиусом 1 м в соответствии с уравнением φ(t) = 2π(t² – 6t + 12), где φ – в радианах, t – в секундах. Число оборотов, совершенных частицей до остановки, равно

3

• 9

1

6

Решение

в момент остановки , то ( )

и с. В начальный момент радус-вектор, соединяющий частицу с центром вращения, был повернут на угол Через с – на угол По определению

Примечание. Величина радиуса окружности, по которой движется частица, никакой роли не играет.

16. Частица движется вдоль окружности радиусом 1 м в соответствии с уравнением φ(t) = 2π(t² – 6t + 12), где φ – в радианах, t – в секундах. Угловое ускорение частицы через 3 с после начала движения равно ( )

2π

6π

0

• 4π

Решение

Примечание. Величина радиуса окружности, по которой движется частица, никакой роли не играет, .

1 7. Тело вращается вокруг неподвижной оси. Зависимость угловой скорости от времени ω(t) приведена на рисунке. Угловое ускорение точек тела равно.. рад/с²; тангенциальное ускорение точки, находящейся на расстоянии 1 м от оси вращения равно….. м/с².

Решение

Так как « » отрицательна на некотором интервале времени, то на рисунке представлен график зависимость Так как линейно зависит от времени, то это равнопеременное вращение с постоянным угловым ускорением

Выберем, например, с и с. Тогда (рад/с²), (рад/с²) и

По определению , т. е. (м/с²).

Примечание. Отрицательное время на графике означает, что рассматривается движение и до начала отсчета времени ( с). В этом интервале времени от до с вращение тела – равнозамедленное, от с до с – равноускоренное. Далее – равноускоренное. Соответственно проекция тангенциального ускорения при равнозамедленном движении , а при равноускоренном – .

18. Тангенциальное ускорение точки меняется согласно графику.

Такому движению соответствует зависимость скорости от времени ... на 3 рис.

1 2 3 4

Решение

Так как проекция тангенциального ускорения на направление скорости (касательной к траектории) определяет производную модуля скорости по времени

то при имеем линейная функция времени.

Если то монотонно возрастающая функция,

если то постоянная функция,

если то монотонно убывающая функция.

Если меняется скачком, то скачком меняется наклон зависимости

Единственный график, соответствующий указанной выше последовательности зависимостей, представлен на третьем рисунке.

19. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси. Скорость точки, находящейся на расстоянии 10 см от оси, изменяется со временем в соответствии с графиком, представленным на рисунке. Зависимость угловой скорости тела от времени (в единицах СИ) задается уравнением …

• 

Решение

Так как модуль скорости линейно возрастает со временем, то это равноускоренное движение по окружности и

где по графику Тогда равно

Пусть Тогда

и

Следовательно, . Так как ω , то

20. На рисунке представлена зависимость углового ускорения от времени тела, которое покоилось в начальный момент времени. Максимальная угловая скорость тела в интервале времени от 0 до 4 с равна …3 рад/с.

Решение

Так как значения углового ускорение отрицательны на некотором вре менном интервале, то указанная зависимость есть зависимость от .

По определению площадь под кривой от . Для нашего случая вращения из положения покоя – . Очевидно, что с увеличением времени площадь под кривой растет вплоть до максимального значения 3 рад/с в момент с. Далее площадь под кривой уменьшается и к моменту с 2 рад/с.

Примечание. Мы ищем максимальное значение , так что , соответствующее максимальному , может быть и отрицательным.

24