Лекція №7. Математичні основи комп’ютерної графіки. Представлення і перетворення точок і відрізків План лекції

1. Представлення і перетворення точок;

2. Перетворення прямих ліній;

3. Обертання;

4. Зміна масштабу;

5. Тривимірні перетворення;

6. Тривимірні обертання.

1. Представлення і перетворення точок

Internet - это крупнейшая компьютерная сеть в мире. Представлення точок здійснюється наступним чином:

• на площині (x, у);

• у просторі (х, у, z).

Перетворення точок.

Розглянемо результати матричного множення

(x у), що визначає точку Р, і матриці перетворення 2х2 загального виду:

Рис. Приклади перетворення точок

Дослідження декількох часткових випадків.

1. a=d=1 i c=b==0. Змін не відбувається:

2. d=1, b=c=0. Зміна маштабу по осі х:

3. b=c=0/ Зміна масштабу по осях х і у:

2. Перетворення прямих ліній

Пряма задана 2 векторами.

Вектори положення точок А і A* рівні значенням (0 1)і (2 3) відповідно.

Матриця перетворення прямих ліній має вигляд:

Одержимо:

Альтернативне представлення лінії АA*:

Після цього множення матриці L на Т дасть таке представлення лінії BВ*

Операція перетворення збільшила довжину лінії і змінила її положення відносно осей координат.

3. Обертання

Розглянемо плоский трикутник АВС.

Рис. Обертання і відображення

Здійснимо поворот на 90° проти годинникової стрілки. В результаті отримаємо трикутник А*В*С*

Поворот на 180°задається матрицею для А**В**С**

Поворот на 270° навколо початку координат - за допомогою такої матриці для А***В***С*** :

4. Зміна масштабу

Зміна масштабу визначається значенням 2-х елементів головної діагоналі матриці.

Якщо використовуємо матрицю, , маємо збільшення в 2 рази.

Якщо значення діагональних елементів не рівні, то має місце спотворення.

• Трикутник АВС перетворений за допомогою матриці

• Трикутник DEF перетворений за допомогою матриці

Рівномірна і нерівномірна зміни масштабу трикутників АВС та DEF

5. Тривимірні перетворення

Наочне представлення об'єкта можна одержати шляхом виконання операцій:

• обертання;

• переносу;

• побудови проекцій.

Точка в тривимірному просторі

• (x y z) задається чотиримірним вектором (x y z 1) чи (X Y Z H).

Перетворення з однорідних координат описується співвідношеннями

де T - деяка матриця перетворення.

6. Тривимірні обертання

При обертанні навколо осі х розміри уздовж осі х не змінюються.

Таким чином, матриця перетворень буде мати нулі в першому рядку і першому стовпці, за винятком одиниці на головнійдіагоналі .

Обертання навколо осі y

Для обертання на кут Ф навколо осі y - нулі ставлять у другому рядку і другому стовпці матриці перетворення, за винятком одиниці на головній діагоналі. Повна матриця задається виразом

Обертання навколо осі z

Аналогічно матриця перетворення для обертання на кут φ навколо осі z має вигляд

Лекція №8. Стандартні проекції.