1.3. Действительные числа
Понятие числа является первичным и основным в математике. Первым понятием в истории человечества было натуральное число. Оно возникло в процессе счета. N={1,2,3,4,…}. Натуральные числа можно складывать (+), умножать (). С натуральными числами связаны операции сложения (+), умножения (). В результате также будет получено натуральное число.
Операция вычитания (-) требует ввести понятия числа 0 (нуль) и отрицательных чисел –1, -2, -3, …
Пример 1.
Число нуль (0) есть результат вычитания двух равных натуральных чисел
0=а-а
где а – некоторое натуральное число из множества N.
Множество Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, . . . } называется множеством целых чисел.
Операция деления потребовала введения понятия дробного числа.
или
, р
q – целые числа.
Целые числа и дробные числа в совокупности образуют множество рациональных чисел Q.
Решение
практической задачи об измерении отрезка
не всегда решается в рациональных
числах, поэтому были введены операции
(извлечение корня),
log (логарифма). Числа,
которые получаются в результате этих
операций, называются иррациональными
(
. . .).
Пример 2.
-
непериодическая бесконечная десятичная
дробь.
Все рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел. Это множество принято обозначать буквой R. Т.е.
R – это множество, в котором определены взаимосвязанные операции сложения, вычитания, умножения, деления.
Соотношения
a<b,
a
b,
a>b,
a
b
называются неравенствами.
Неравенства a>b, a<b – строгие неравенства, неравенства a b, a b – нестрогие неравенства.
Расширенная
числовая ось R..
На числовой оси вводятся два элемента
и
(бесконечность).
Принято
.
Множество
действительных чисел R,
дополненное двумя элементами
и
,
называется расширенным множеством
действительных чисел и обозначается
.
- бесконечные числа или бесконечно
удаленные точки расширенной числовой
прямой.
Примечание.
Символ
не есть число. Это условный знак. Он
служит для определения переменной
величины, обладающей таким свойством,
что она может принимать значения, большие
сколь угодно большого положительного
числа. Ни одна постоянная величина, хотя
бы самая большая, не является бесконечно
большой. Например, число
не равно
.
Аналогичные рассуждения можно провести и в отношении символа .
Отрезок, интервал, окрестность
Пусть
а и b - два
числа, причем
,
находящиеся на расширенной числовой
оси
.
Тогда, используя введенные обозначения,
имеем:
Отрезок (сегмент)
{x:
Множество
чисел х, удовлетворяющих неравенству
,
называется отрезком (с концами а и
b).
Интервал
{x:a<x<b} =(a,b)
Полуинтервалы
{x:a x<b}=[a,b)
{x:a<x b}=(a,b]
{x:a x}=[a,+ )
{x:x b}=(- ,b}
Все указанные выше множества называются промежутками. Промежутки (a,b), [a,b], [a,b), (a,b] называются конечными, а a и b их концами.
Глава 2 начала аналитической геометрии
Аналитическая геометрия – область математики, изучающая геометрические образы (формы, объекты) алгебраическими методами.
За начальный или первичный образ исследования принимают точку (.). Точка – это простейший объект геометрии, характеризуемый только его положением. Чтобы описать его, вводят систему координат.