§2. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

Числовой ряд называется знакоположительным, если все его члены являются положительными числами:

(1)

Существует много достаточных признаков, по которым можно исследовать сходимость числовых рядов. Основными из них для знакоположительных рядов являются следующие признаки:

1. признаки сравнения (в непредельной и в предельной формах);

2. признак Даламбера (в предельной форме);

3. радикальный признак Коши;

4. интегральный признак Коши.

1.Признак сравнения в непредельной форме:

Рассматриваются два знакоположительных ряда: - ряд с неизвестной сходимостью, - ряд с известной сходимостью. Если ряд с известной сходимостью сходится и , то тоже сходится. Если ряд с известной сходимостью расходится и , то также расходится.

Другими словами:

из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами;

из сходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с большими членами.

Предполагаем, что для обоих рядов необходимое условие сходимости выполняется.

Для доказательства первой части признака рассматриваем сходящийся ряд , его сумму его частичные суммы :

, где .

Рассмотрим частичную сумму ряда с неизвестной сходимостью:

Так как , то .

Так как существует и монотонно возрастает вследствие знакоположительности всех членов , то последовательность ограничена сверху числом

так как для , то последовательность также ограничена сверху, например, тем же числом .

Последовательность монотонно возрастает вследствие знакоположительности всех членов . По теореме Вейерштрасса заключаем, что монотонно возрастающая и ограниченная сверху последовательность имеет конечный предел. Но так как существует , то сходится, ч.т.д.

Теперь проведем доказательство второй части:

дано _, отсюда следует, что ряд сходиться не может, так как в случае его сходимости из неравенства следовала бы сходимость ряда сходился бы и ряд (по доказанной первой части признака). Поэтому ряд расходится, ч.т.д.

Замечание

Доказанный признак сравнения остается справедливым, если неравенства или выполняется при , начиная с некоторого номера.

1. Признак сравнения в предельной форме:

Рассматриваются два знакоположительных ряда ряд с неизвестной сходимостью, ряд с известной сходимостью. Вычисляется предел . Если А – это число , то оба ряда ведут себя одинаково в смысле сходимости (оба сходятся или расходятся).

Существование такого предела гарантирует, что бесконечно малые слагаемые и имеют одинаковый порядок малости, с одинаковой скоростью стремятся к нулю, и это обеспечивает одинаковую сходимость обоих рядов.

Для применения признаков сравнения нужно знать ряды, сходимость которых считается известной; к таким рядам с известной сходимостью будем относить следующие ряды:

а) геометрический ряд (q>0),

сходится, если ; расходится, если ;

б) - гармонический ряд (расходится)

в) - обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле),

сходится, если параметр ; расходится, если ;

в’) - ряд из обратных квадратов (сходится, так как

является рядом Дирихле с ).

Примеры:

Исследуем сходимость следующих числовых рядов по признаку сравнения:

1. ;

так как при и ряд сходится, потому что является геометрическим рядом с , то данный ряд также сходится;

2. ;

имеем очевидное неравенство при ряд сходится, так как это ряд из обратных квадратов; поэтому данный ряд тоже сходится;

3. ;

этот ряд расходится, так как его члены удовлетворяют неравенству:

при и ряд расходится, потому что является гармоническим (без первого члена);

4. ;

для членов этого ряда затруднительно написать неравенство с членами какого-нибудь ряда с известной сходимостью; но заметив, что члены этого ряда имеют одинаковый порядок малости с величинами , применим признак сравнения в предельной форме с гармоническим рядом :

- число≠0

⇒данный ряд расходится, так как расходится гармонический ряд.

2.Признак Даламбера

Для знакоположительного ряда вычисляют предел отношения последующего членов к предыдущему: Если

Примеры:

Исследуем сходимость следующих знакоположительных рядов по признаку Даламбера:

1. ;

Вычисляем предел отношения последующего члена ряда к предыдущему:

так как получилось, что q=0, то ряд из обратных факториалов сходится;

2. 

данный ряд расходится;

3. 

ответ о сходимости данного ряда по признаку Даламбера дать нельзя.

3.Радикальный признак Коши

Для знакоположительного ряда вычисляют предел корня n-й степени из общего члена ряда: Если

Примеры:

Исследуем сходимость следующих знакоположительных рядов по радикальному признаку Коши:

1. 

данный ряд сходится;

2. 

Так как величина положительная, то вычисляем предел её логарифма:

переставляя теперь знаки lim и ln, получим, что:

ответ сходимости гармонического ряда по радикальному признаку Коши дать нельзя.

4.Интегральный признак Коши

Для знакоположительного ряда вводится функция такая, что Рассматривается несобственный интеграл от этой функции: ; Если несобственный интеграл: сходится, то сходится и ряд; расходится, то расходится и ряд.

Доказательство признака проводится на основании геометрической трактовки несобственного интеграла I рода и его сходимости/расходимости.

Если где сходится, то площадь F под кривой можно вычислить; если расходится, то вычислить F нельзя.

Используем эту трактовку для , связанной с рядом, для которой при n=1,2,3…:

Если числовой ряд записать в виде:

то его можно трактовать как площадь неограниченной справа ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников с основанием равным 1 и высотами, равными .

Если интеграл расходится, то площадь F вычислена быть не может, поэтому не может быть вычислена и площадь бесконечной ступенчатой фигуры, изображенной на левом рисунке, так как она больше площади F; следовательно, ряд также расходится.

Если несобственный интеграл сходится и равен числу F, то ряд удобно трактовать как площадь входящей в F ступенчатой фигуры, отделив для этого первый член ряда (смотри рисунок справа):

, очевидно, что сумма в скобках может быть выражена числом, меньшим чем F; поэтому сумма знакоположительного ряда есть и выражается некоторым числом.

Таким образом получено неравенство , которое и означает сходимость числового ряда.⊲

Примеры:

_{Исследуем сходимость следующих рядов, применяя интегральный признак Коши:}