2.5. Зависит ли точность определения х*, которую гарантируют методы дихотомии и золотого сечения в результате n вычислений f(X), от конкретной функции f(X)?

Не зависит. При уменьшении отрезка в этих методах мы работаем тесно с длинами отрезков, координатой Х, координатой У для того, чтобы выбрать правый/левый отрезок, независимо от его длины.

2.6. Требуется найти точку минимум унимодальной функции на отрезке длины 1 с точностью ε=0,02. Имеется возможность измерить не более 10 значений f(x). Какой из прямых методов минимизации можно использовать для этого?

Метод перебора.

Max точность ≈0,1(1). 0,1(1)>0, следовательно, точность недостаточная и способ использовать нельзя

Метод поразрядного поиска. Точно сказать нельзя

Метод дихотомии.

n ≥

n=4 (10-1=9 9/2=4)

4 ≥

Решая, получается, что

16 ≥

Т.к. ε=0,02 и 0< δ < 2ε:

-0,32 ≥ 15δ

НО т.к. δ<0 => метод использовать нельзя

Метод золотого сечения.

n ≥ 2,1 ln ( )

n ≥ 7 => метод подходит

2.7. Доказать, что погрешность определения точки минимума x* функции f(x) методом перебора не превосходит величины ε_n=(b-a)/n

Доказательство:

Если х_n является внутренней точкой разбиения отрезка [a,b], т.е. 1 ≤ m ≤ n1 (случаи m=0 и m=n рассматриваются аналогично). Тогда так как f(x_m)=min f(x), 0 ≤ i ≤ n и по определению унимодальности:

А) f(x_m-1) ≥ f(x_m), т.е. х* принадлежит отрезку [x_m-1,b]

Б) f(x_m) ≤ f(x_m+1), т.е. х* принадлежит отрезку [a, x_m+1]

На основе этого следует, что х* принадлежит [x_m-1,b]∩ [a, x_m+1]=[ x_m-1 , x_m+1].

Длина этого отрезка = 2(b-a)/n, а точка x_m является его серединой, поэтому

| x_m-x*| ≤ (b-a)/n = ε_n

2.8. Доказать, что в методе дихотомии число итераций, необходимое для определения точки минимума с точностью ε, определяется формулой

.

Обозначим длину . Тогда длина отрезка, полученного после первой итерации, равна , после второй итерации , после третьей и т.д. После итераций длина n итерации длина отрезка поиска точки станет равна

. При этом будет достигнута точность определения точки минимума . Находя n из условия

, получим неравенство .

2.9. Доказать, что число итераций, необходимое для достижения заданной точности ε на отрезке [a,b] в методе золотого сечения определяется формулой .

Для произвольного отрезка [a,b] выражения для пробных точек примут вид

На каждой итерации отрезок поиска точки минимума уменьшается в одном и том же отношении , поэтому в результате n итераций его длина становится . Таким образом, точность определения точки после n итераций находится из равенства ,

а условием окончания поиска точки с точностью ε служит неравенство

2.10. Сравнить необходимые количества вычисленных значений и функции при поиске ее точки минимума на отрезке длины 1 с точностью 10^-5 методом деления отрезка пополам и методом перебора.

В методе перебора , подставляя числа, получим . В методе дихотомии Подставляя числа, получим

, откуда

2.11. Зависит ли точность определения , которая получается методом парабол в результате N вычислений функции f(x), от конкретной функции f(x)?

Да, для повышения точности можно, во-первых, увеличивать порядок аппроксимирующего полинома и, во-вторых, уменьшать длину отрезка аппроксимации.

2.12. Указать класс функций, для точного определения точек минимума которых достаточно одной итерации метода парабол.

Для квадратичных функций.

2.13. В окрестности точки минимума график близок к симметричному относительно вертикальной оси, проходящей через точку а график заметно асимметричен. Для какой из этих функций следует ожидать более высокой скорости сходимости, применяя метод парабол?

Для первого случая. Так как метод парабол хорошо работает для квадратичных функций.