Задание 3.

s_n+b = s_n+b-2 + s_n

s_n+6 = s_n+4 + s_n

3.1. Нарисовать электронную схему последовательности.

n+6

n+4

n

2. Найти характеристический многочлен последовательности и разложить его на множители.

S_n+6 = S_n+4 + S_n

S_n+6 – S_n-4 – S_n = 0

В таком случае характеристическое уравнение будет иметь вид:

х⁶ – х⁴ – 1 = 0

Пусть х² = t, тогда

t³ – t² – 1 = 0

Одним из корней этого уравнения будет 1,466, таким образом:

(t – 1,466)(t² + 0,466t + 0,683) = 0

Второй многочлен имеет комплексные корни.

(t – 1,466)(t + 0,233 + 0,793i) (t + 0,233 - 0,793i) = 0

Сам характеристический многочлен примет вид:

(x­­² – 1,466)(x² + 0,233 + 0,793i) (x² + 0,233 - 0,793i)

И окончательно получаем многочлен вида:

(x – 1,211)(x + 1,211)(x – 0,74 – 0,53i)²(x – 0,74 + 0,53i)²

2. Найти явную формулу для n-го члена рекуррентной последовательности.

Явная формула для n-го члена рекуррентной последовательности:

S_n = β₁ + β₂ + β₃ + β₄ + β₅ + β₆

Где α₁, α₂, α₃, α₄, α₅, α₆ – корни характеристического уравнения, а именно:

α₁ = 1,211

α₂ = -1,211

α₃ = 0,74 + 0,53i

α₄ = 0,74 + 0,53i

α₅ = 0,74 – 0,53i

α₆ = 0,74 – 0,53i

А β₁, β₂, β₃, β₄, β₅, β₆ находятся при решении системы уравнений:

Решить эту систему не представляется возможным, так как не известны первые k членов последовательности (S₀, S₁, S₂, S₃, S₄, S₅) – вектор инициализации. Явная формула n-го члена последовательности будет иметь вид:

S_n = β₁ * 1,211ⁿ + β₂ (- 1,211)ⁿ + β₃ (0,74 + 0,53i)ⁿ + β₄ (0,74 + 0,53i)ⁿ + β₅ (0,74 –

- 0,53i)ⁿ + β₆ (0,74 – 0,53i)ⁿ