19.Примеры разложения функций в ряды Тейлора

Пример 1. Рассмотрим функцию . В соответствии с формулой Тейлора-Маклорена ,

где .

Сосчитаем радиус сходимости степенного ряда:

.

Таким образом, этот ряд сходится во всех точках вещественной оси. Для того, чтобы выяснить, будет ли сходиться ряд к функции , заметим, что при любом значении имеем при . Следовательно, при всех .

Пример 2. Рассмотрим функцию . В соответствии с формулой Тейлора-Маклорена

,

где . То есть, и при . Следовательно, при всех .

Пример 3. Рассмотрим функцию В соответствии с формулой Тейлора-Маклорена

где

. То есть, и при . Следовательно, при всех .

Пример 4. Рассмотрим функцию . В соответствии сформулой Тейлора-Маклорена при

.

Найдем радиус сходимости этого степенного ряда: .

Для оценки остаточного члена при , больших или равных целой части , форма Лагранжа остаточного члена годится только для . В этом случае имеем оценку: . Очевидно, что при имеем при . Для отрицательных значений применяется другая форма остаточного члена. В результате для справедливо представление .

В случае, когда – натуральное число, производные функции порядка выше, чем , обращаются в 0. Следовательно, коэффициенты ряда при степенях выше – нулевые, и значит, от ряда останется только конечная сумма, содержащая слагаемое. Разложение это имеет вид

,

а полученная формула носит название «бином Ньютона».

20. Примеры приложений рядов Тейлора.

Представленные в предыдущем пункте канонические разложения могут служить основой для получения новых разложений. Так, положив в последнем разложении, мы получим формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем : . Заменив в этой формуле на , получим: .

Заменим в последней формуле на , мы получим разложение

. Последний ряд имеет радиус сходимости, равный 1. Вспомним, что внутри интервала сходимости ряды можно интегрировать почленно и проинтегрируем обе части последнего равенства по от 0 до

тогда получим разложение: .

Еще легче получить разложение если проинтегрировать почленно ряд внутри интервала сходимости , то есть при .

Разложения функций и в ряды Тейлора, справедливые для всех вещественных , оказываются такими же и в случае, когда – комплексное число. Пусть , где – мнимая единица, то есть, , а – вещественное число. (Заметим, что , ). Разложим в ряд Тейлора:

Вот эта формула, выражающая связь между и в случае комплексных переменных, и называется формулой Эйлера.

Ряды Тейлора служат для приближения многих функций. Дело в том, что арифметические операции, которые проводятся точно – это операции умножения на число (а следовательно, и возведение в целую положительную степень) и сложение. Поэтому вычисление значений многих известных функций, например, , сводится к вычислению значений близких к этим функциям многочленов – частных сумм соответствующих рядов Тейлора. Эти суммы заложены в программу вычислений наших калькуляторов.

Частные суммы ряда Тейлора для произвольной функции можно получать с помощью программы MAXIMA. Для того, чтобы получить для конкретной функции , следует набрать taylor(f(x),x,a,n) и нажать Shift+Enter.

Пример. Для получения суммы Тейлора 7-й степени по степеням для функции следует набрать taylor(log(x)/x,x,1,7). Мы получим

Сравним полученный многочлен (красный график) с исходной функцией (синий график) на одном рисунке. Для этого введем load(draw); draw2d(color=blue, explicit(log(x)/x,x,0.2,2), color=red, explicit(taylor(log(x)/x,x,1,7),x,0.2,2))