53.Вычисление площади поверхности тела вращения.

Пусть функция y=f(x) определена и дифференцируема на промежутке [a,b]. Вращая данный график функции, получаем поверхность. Разбиваем полученную поверхность на n частей, возьмём две точки на этой поверхности . Расстояние между этими двумя точками приближённо равно хорде. Получаем усечённый конус (цилиндр). Площадь боковой поверхности конуса (цилиндра) вычисляется по формуле:

Тогда площадь всей поверхности вычисляем с помощью интегральной суммы:

Первое слагаемое последнего выражения является интегральной суммой и при переходе к приделам даст интеграл от этой функции, второе слагаемое при переходе к пределу даст 0.

54.Работа переменной силы.

Пусть материальная точка перемещается под действием некоторой силы F вдоль оси Ох, имеющей переменную величину, зависящую от х. Для определения работы силы по перемещению материальной точки из точки а в точку b разбиваем отрезок [a,b] на n частей. Выберем на каждом частичном отрезке точку ξ. Сила изменяется от точки к точке. Функция F(x) предполагается непрерывной на данном отрезке. Если отрезки очень маленькие, то изменением значения силы можно пренебречь в окрестностях выбранной точки. Тогда .

55.Понятие несобственного интеграла.

В случае если функция неограниченна или отрезок бесконечен используется несобственный интеграл.

Несобственный интеграл первого рода.

Определение. Пусть функция f(x) определена на промежутке интегрируема по любому отрезку [a,R], т.е. существует определённый интеграл при любом значении R>a, тогда если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают

Несобственный интеграл второго рода.

Определение. Пусть функция f(x) определена на промежутке [a,b], точку x=b будем называть особой, если функция f(x) неограничена в любой окрестности этой точки, но не ограничена на любом отрезке [a,b-ε], заключённом в [a,b). Пусть на любом отрезке [a,b-ε] функция f(x) интегрируем, т.е. существует определённый интеграл при любом ε>0 таком, что b-a>a. Тогда если существует конечный предел ,

то его называют несобственным интегралом второго рода. В этом случае говорят, что интеграл существует, или сходится. Если предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл не существует или не сходится.