Шестидесятеричная система счисления

То как мы представляем время на часах это пример шестидесятеричной позиционной системы счисления. В представлении времени используется три позиции для часов, минут и секунд; так как для каждой позиций приходиться использовать 60 цифр, а у нас только десять цифр, то для каждой шестидесятеричной позиции используется две десятичные цифры (00, 01, 02, ..., 59), а позиции разделяются двоеточием.

h:m:s

Чтобы получить время в секундах мы должны посчитать вот по такой формуле:

h60² + m60¹ + s60⁰ = h3600 + m60 + s

Двоичная система счисления

В компьютерной технике очень часто используется двоичная система счисления.

Двоичная система счисления является позиционной системой. В ней используется две цифры: 0 и 1.

Переведем число в двоичной системе счисления в десятичную.

Если вы заходите посвятить свою жизнь программированию, то вам часто придется работать со степенями двойки.

Произведем обратное преобразование. Чтобы преобразовать число в десятичном виде к двоичному, нам нужно будет делить все время на два и смотреть на остаток от деления. Возьмем число 33.

• 33 : 2 = 16 остаток 1;

• 16 : 2 = 8 остаток 0;

• 8 : 2 = 4 остаток 0;

• 4 : 2 = 2 остаток 0;

• 2 : 2 = 1 остаток 0;

• 1 : 2 = 0 остаток 1;

Получили 100001₂.

Двоичная арифметика

Именно двоичная система счисления получила широкое применение в вычислительных машинах. Начало исследования этой системы относится к XVI веку. Удобство и простоту выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления отмечали еще Б. Паскаль, Г. Лейбниц и др. Рассмотрим правила выполнения арифметических операций с двоичными числами.

СЛОЖЕНИЕ. Для того чтобы выполнить сложение двух чисел, записанных в

двоичной системе счисления, достаточно знать простейшую таблицу сложения:

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10

Последняя сумма представляет собой двузначное число. Это следует

понимать как перенос одной двоичной единицы в соседний старший разряд. Это

можно записать так:

1+1=0+перенос единицы в соседний старший разряд.

Сложение нескольких чисел вызывает некоторые трудности, так как в

результате поразрядного сложения могут получится переносы, превышающие

единицу. В таких случаях приходится учитывать переносы не только в

соседней, но и другие старшие разряды.

ВЫЧИТАНИЕ. Таблица вычитания имеет вид:

0-0=0

1-0=1

1-1=0

10-1=1

Вычитание в двоичной системе выполняется аналогично вычитанию в

десятичной системе счисления. При необходимости, когда в некотором разряде

приходится вычитать единицу из нуля, занимается единица из следующего

старшего разряда. Если в следующем разряде нуль, то заем делается в

ближайшем старшем разряде, в котором стоит единица. При этом следует

понимать, что занимаемая единица равна двум единицам данного разряда, т. е.

вычитание выполняется по следующему правилу.

УМНОЖЕНИЕ. Умножение двух двоичных чисел выполняется так же, как и

умножение десятичных. Сначала получаются частичные произведения и затем их

суммируют с учетом веса соответствующего разряда множителя.

Отличительной особенностью умножения в двоичной системе счисления

является его простота, обусловленная простотой таблицы умножения. В

соответствии с ней, каждое частичное произведение или равно нулю, если в

соответствующем разряде множителя стоит нуль, или равно множимому,

сдвинутому на соответствующее число разрядов, если в соответствующем

разряде множителя стоит единица. Таким образом, операция умножения в

двоичной системе сводится к операциям сдвига и сложения.

Умножение производится, начиная с младшего или старшего разряда

множителя, что и определяет направление сдвига. Если сомножители имеют

дробные части, то положение запятой в произведении определяется по тем же

правилам, что и для десятичных чисел.

ДЕЛЕНИЕ. Деление чисел в двоичной системе производится аналогично

делению десятичных чисел. Рассмотрим деление двух целых чисел, так как

делимое и делитель всегда могут быть приведены к такому виду путем

перенесения запятой в делимом и делителе на одинаковое число разрядов и

дописывания необходимых нулей. Деление начинается с того, что от делимого

слева отделяется минимальная группа разрядов, которая, рассматриваемая как

число, превышает или равна делителю. Дальнейшие действия выполняются по

обычным правилам, прием последняя целая цифра частного получается тогда,

когда все цифры делимого исчерпаны.

Таким образов, выполнение арифметических операций в двоичной системе

счисления достаточно просто. Особенно просто выполнять операции сложения,

вычитания и умножения. Благодаря этому, применение двоичной системы в

вычислительных машинах позволяет упростить схемы устройств, в которых

осуществляются операции над числами.