28. Понятие текущей и будущей стоимости, методы расчета

Стоимость финансовых инструментов зависит от денежных поступлений или выплат, генерируемых данным финансовым инструментом. Для описания произвольного финансового инструмента может быть использована модель денежного потока. Она представляет собой совокупность денежных выплат, поступающих в разные моменты времени.

• Денежные выплаты со знаком «+» – держатель данного денежного потока

получает выплату;

• Денежные выплаты со знаком «-» - держатель денежного потока совершает

выплату.

Равномерные денежные потоки – выплаты совершаются через равные промежутки времени.

Неравномерные денежные потоки – выплаты совершаются через различные промежутки времени (он может быть приведен к равномерному путем выделения дополнительных временных интервалов и добавления нулевых выплат).

Определенные денежные потоки – это такие, для которых в момент оценки известны величины будущих выплат и моменты их поступления. К финансовым инструментам, которые могут быть описаны с помощью модели этих потоков, относятся долговые инструменты (купонные облигации с фиксированной купонной ставкой или банковские депозиты с фиксированной ставкой).

Неопределенные денежные потоки предполагают неизвестные по величине будущие выплаты. Величина будущих выплат здесь рассматривается как случайная величина с некоторой функцией распределения вероятностей. К финансовым инструментам, которые могут быть описаны с помощью модели этих потоков, относятся финансовые инструменты (например, акции).

Обусловленные денежные потоки предполагают, что будущие выплаты равны определенной величине при выполнении некоторого условия. К финансовым инструментам, которые могут быть описаны с помощью модели этих потоков, относятся опционы.

Финансовые инструменты, обладающие соответствующим денежным потоком, создают для их держателей разнообразные риски. Риск, связанный с типом денежного потока, описывающего финансовый инструмент, называется риском неопределенности. Финансовый инструмент, представленный как определенный денежный поток, обладает нулевым риском неопределенности. Финансовый инструмент, представленный как неопределенный или обусловленный денежный поток, называется рисковым.

В основе оценки стоимости денежных потоков лежит представление о временной ценности денег. Одинаковые по величине денежные суммы, поступающие в распоряжение экономического субъекта в разные моменты времени, различаются для него по своей ценности. Рубль сегодня оказывается ценнее рубля, который может поступить через год потому, что сегодняшний рубль можно вложить в доходный актив и через год получить сумму, большую, чем один рубль, на величину процентных выплат. Чтобы сопоставлять денежные суммы, поступившие в разное время, необходимо привести их к одному моменту времени. Для этого используются операции:

Дисконтирования – приведение разновременных денежных потоков к начальному моменту времени.

Наращение - приведение разновременных денежных потоков к будущему моменту времени.

Операции дисконтирования и наращения осуществляются с учетом возможности альтернативного вклада с отдачей в виде периодических процентных выплат.

Процентная выплата (процент) – доход в денежной форме, получаемой кредитором за пользование его денежными средствами.

Схема простого процента – начисление процентной выплаты без учета накопленного дохода (без учета реинвестированных процентных выплат).

Схема сложного процента - начисление процентной выплаты с учетом накопленного дохода (с учетом реинвестированных процентных выплат).

Пусть, FV – будущая стоимость, PV – текущая стоимость, r – ставка процента по альтернативному вкладу, измеренная в долях единицы, t – количество периодов начисления процентных платежей (время).

По схеме простого процента:

FV = PV(1+rt); PV=FV/(1+rt);

По схеме сложного процента:

FV = PV(1+r)^t; PV=FV/(1+r)^t;

Чаще всего начисление простого процента используется при оценке стоимости и доходности краткосрочных финансовых инструментов (срок погашения – до 1 года), а схема сложного процента при расчетах по средне- и долгосрочным финансовым инструментам (со сроком обращения более одного года).

Если t = T лет и τ дней, то:

FV = PV(1+r)^T(1+r*τ/365)

Согласно модели непрерывного процента, начисление процентных выплат производится в течение бесконечно малых промежутков времени так, что общая процентная выплата за год составит r процентов годовых. Тогда:

FV = PV*e^rt; PV = FV*e^-rt

Cоотношения между процентными ставками:

Пусть, m – число периодов процентных выплат в году

p-процентная ставка за произвольный период времени

R- годовая процентная ставка по простому проценту, без учета реинвестирования (номинальная ставка)

r- годовая процентная ставка по сложному проценту, с учетом реинвестирования (эффективная ставка)

Найдем номинальную процентную ставку(R)

PV(1+R)=PV(1+pm)

R=pm

Найдем эффективную процентную ставку(r)

PV(1+r)=PV(1+p)^m

r=(1+p)^m-1

Связь между номинальной и эффективной ставками:

r=(1+R/m)^m-1

Определим стоимость денежного потока как сумму приведенных к моменту времени оценки входящих в него денежных выплат.

Пусть,

Сt – выплата, соответствующая концу t-го периода

PV – текущая стоимость денежного потока

FV – будущая стоимость денежного потока

r- процентная ставка по альтернативному вкладу

Т- количество периодов выплат по денежному потоку

Тогда текущая стоимость (теоретическая, рассчитанная в соответствии с некоторой теоретической моделью) денежного потока равна:

PV=C₁/(1+r) + C₂/(1+r)² + … + C_t/(1+r)^t +…+ C_T-1/(1+r)^T-1 + FV/(1+r)^T

Если финансовый инструмент, создающий подобный денежный поток, торгуется на реальном рынке, то его рыночная стоимость, скорее всего, будет отличаться от теоретической. В этом случае будем иметь дело с рыночной стоимостью денежного потока..

Пусть, P- рыночная стоимость денежного потока. Предположим, все параметры денежного потока известны. Исключение составляет процентная ставка r. Предположим также, что финансовый инструмент, создающий этот денежный поток, был приобретен по реальной рыночной стоимости P. Тогда

P=C₁/(1+r) + C₂/(1+r)² + … + C_t/(1+r)^t +…+ C_T-1/(1+r)^T-1 + FV/(1+r)^T

В полученном выражении r-неизвестная величина. Решив уравнение относительно r, получим значение показателя, называемого внутренней нормой доходности. Можно вербально определить внутреннюю норму доходности денежного потока как среднегодовую доходность, которую получит инвестор, купив финансовый инструмент по рыночной стоимости и удерживая его в течение Т периодов.

Аннуитет (рента) – регулярные, обычно ежегодные, и равные по величине платежи. Пусть, С – величина денежной выплаты за один временной период. Такой денежный поток описывается моделью постоянного ограниченного аннуитета (ренты). А его стоимость – следующим соотношением:

PV = C₁/(1+r) + C₂/(1+r)² + … + C_T/(1+r)^T = С*((1+r)^T-1)/(1+r)^T*r

Здесь коэффициент С*((1+r)^T-1)/(1+r)^T*r – коэффициент дисконтирования аннуитета.

Если регулярные выплаты поступают в бесконечном временном периоде, то имеем дело с моделью постоянного вечного аннуитета (ренты):

PV = lim(T→∞) С*((1+r)^T-1)/(1+r)^T*r = C/r

Модель ограниченного растущего аннуитета (ренты) предполагает, что денежный поток С в ограниченном периоде времени Т ежегодно увеличивается с постоянным темпом g. Его стоимость равна:

PV= ∑ С*(1+g)^t-1)/(1+r)^t = (C/r-g) [1-((1+g)/(1+r)^T)]

Если прирост с постоянным темпом происходит в бесконечности, то такой денежный поток называется бесконечным растущим аннуитетом. Его стоимость равна (при r<g):

PV = lim(T→∞) [С*/(r-g)*[1-((1+g))/(1+r))^T]= C/r-g