Прямое z-преобразование

Для аналоговых сигналов известно преобразование Лапласа, позволяющее упростить вычисления. Для дискретных сигналов используются подобное преобразование, называемое Z-преобразованием. Как известно, дискретный сигнал и его спектр описываются соотношениями

Произведем в первой формуле замену:

Тогда формула прямого преобразования Фурье дискретного сигнала примет вид:

(5.3)

Выражение (5.3) получило название Z-преобразование или Z-изображение дискретного сигнала . Если считать, что для , то получим одностороннее Z-преобразование:

. (5.4)

Можно указать на связь Z-преобразования с преобразованием Лапласа

,

которое получается путем замены . Очевидно, что

или .

Эти формулы устанавливают связь между точками в плоскостях и .

Действительно,

для , т.к. ;

для .

Если положить , то мы будем перемещаться по оси в плоскости р. При переходе в Z-плоскость точки мнимой оси будут располагаться на единичной окружности . Причем точка на плоскости р переходит в точку +1 на плоскости Z, а точки в точку . Это означает, что точки отрезка р-плоскости проецируются в точки на единичной окружности Z-плоскости.

Так как функция – периодична, то последующие отрезки на оси плоскости р такой же длины вновь будут проецироваться на единичную окружность плоскости Z.

Точки левой полуплоскости соответствуют точкам внутри единичной окружности Z, а точки правой полуплоскости – точкам вне этой окружности.

Из теории комплексных переменных известно, что искусственное изменение независимой переменной посредством ее замены некоторой функцией от новой переменной дает преобразование одной области комплексной переменной в другую.

Следовательно, некоторый контур одной области переходит в другой.

Так как в Z- преобразовании используется подстановка Z = epT , то происходит отображение мнимой оси в плоскости «р» в единичную окружность в плоскости “Z” (рис.5.1)

Рисунок 5.1 –Отображение мнимой оси в плоскости «р» в единичную окружность в плоскости «z»

Для значений, соответствующих мнимой оси, вместо «р» необходимо подставить «jω», тогда Z = ejωT => многозначная функция от «ω» с единичной амплитудой и фазовым углом, равным «ωТ».

Если «ω» увеличивается от 0 до ωg/4, то Z изменяется от Z=1 до Z =+j вдоль единичной окружности и в первом квадранте плоскости Z, где Т – период дискретизации и «ωg» = 2π/T.

вдоль единичной окружности во II квадранте

вдоль единичной окружности в III квадранте

в IV квадранте

Рисунок 5.2- Отображение точек левой полуплоскости р вне и внутри единичной окружности Z

Лекция 6. Обратное Z-преобразование

Цель лекции: изучить методы вычисления обратного Z-преобразования, таблицу преобразования

Введение

Как найти дискретный сигнал по его Z-преобразованию? Для этого можно воспользоваться обратным Z-преобразованием, подобно тому, как мы пользуемся обратным преобразованием Лапласа.

Обратное преобразование Лапласа

(6.1)

Интегрирование вернется по замкнутому контуру С в Z-плоскости.

Другой способ определения дискретной последовательности заключается в том, чтобы разложить функцию в степенной ряд по степеням . Тогда коэффициенты при степени в соответствии с формулой (5.4) будут определять отсчеты дискретного сигнала.

Пример 6.1. Найдем дискретный сигнал , которому соответствует Z-преобразование:

.

Воспользуемся разложением функции в ряд: … Для заданного Z-преобразования:

запишем Z-преобразвание в виде:

+…

Сравнивая полученное изображение с общей формулой Z-преобразования

записываем последовательность

Общий член этой последовательности , .

Удобный способ вычисления Z-преобразования заключается в разложении на простые дроби (если – дробно-рациональная функция)

(6.2)

В этом случае, используя свойство линейности Z-преобразования и учитывая условие

,

находим, что . (6.3)

Пример 6.2. Известно обратное преобразование:

.

Разложим на простые дроби:

.

Согласно (4.2) и (4.3) значения будет равны

Пример 6.3

X[n] = Aan, n ≥ 0

(6.4)

Из математики известно, что этот ряд сходится к функции:

( 6.5)

Как найти дискретный сигнал по его Z-преобразованию (обратное Z-преобразование)

Пример 6.4

Функция X(Z) имеет полюса в точках

Z1 =1/2; Z2=-1/3 => корни

Или Z1-1 = 2; Z2-1 = -3

Разложим X(Z) на сумму простых дробей:

(6.6)

Коэффициенты в числителях каждой дроби вычисляются как при разложении входного сопротивления Z(p) реактивных двухполюсников при синтезе их по схеме Фостера:

Тогда подобно тому, как формула( 6.5 ) представляет сумму ряда (6.4), простые дроби в (6.6) являются суммами рядов

и

Поскольку Z-преобразование – это линейная операция, последовательность X[n] состоит из суммы двух последовательностей:

n ≥ 0

После выполнения операции возведения в степень «n» получим:

X[0] = 5; X[1] = 5/6; X[2] = 35/36 и т.д.

Таблица Z-преобразований

Наиболее часто используемые Z-преобразования приведены в таблице 6.1

Таблица 6.1

,
	1

Пример 6.5 Определить обратное Z- преобразование функции.

X(z)=

Решение:

Получим степенной ряд методом деления:

z

Zsin

zsin

z

z in2

Таким образом

X(z) = z sin

Откуда x (nT) = sin

Лекция 7. Свойства Z-преобразования; алгоритмы и структурные схемы дискретных систем

Цель лекции - изучить свойства Z-преобразования.

Введение

Так же, как и для преобразований Лапласа и Фурье, существуют теоремы для Z-преобразования. Приведем наиболее важные.

Теоремы для Z-преобразования

1. Теорема линейности (суперпозиции).

Сумме дискретных сигналов соответствует сумма их изображений:

Если

, , то

, где а и b – const.

2. Теорема задержки

Если дискретный сигнал задержан на N отсчетов, то его Z-преобразование имеет вид

(7.1)

3. Теорема умножения на

4. Теорема умножения на n:

5. Теорема свертки

Свертке дискретных сигналов и соответствует произведение их Z-преобразований:

Теорема дискретной свертки

Известно, что сигнал на выходе аналоговой цепи связан с сигналом на входе цепи интегралом наложения (интегралом свертки):

, (7.2)

где – импульсная характеристика цепи.

При переходе к дискретным сигналам используется выражение для дискретной свертки.

Чтобы не вносить путаницы, время t заменим дискретным значением , а время дискретным значением . Вместо непрерывного сигнала мы будем иметь дело с дискретным сигналом , вместо непрерывной импульсной характеристики – с дискретной импульсной характеристикой . Тогда интеграл (7.2) запишется в виде:

.

Обозначая в этом выражении , , , окончательно получим, что n-ный отсчет дискретной выходной последовательности рассчитывается как

. (7.3)

Поскольку любой отсчет сигнала – это число, то формулу (7.3) можно запрограммировать на ЭВМ. Остается лишь ввести в ЭВМ числа, соответствующие всем дискретным значениям отсчетов входного сигнала и дискретным значениям отсчетов импульсной характеристики и она вычислит отсчеты выходного сигнала . Выражение (6.2) на языке вычислительной техники называется алгоритмом вычисления выходного сигнала.

.