Деление с остатком

Определение. Пусть   и   — многочлены,  . Будем говорить, что   поделен на   с остатком, если   представлен в виде  , где   и   — многочлены, причем  .

Полином   называется остатком от деления   на  ,   — неполным частным.

Пример.  .

.

Теорема. (о делении с остатком). Пусть   и   — полиномы над полем  ,  . Тогда существуют единственные многочлены   и  над полем   такие, что   и  .

Доказательство. Существование.

Пусть  . Положим  .

.

Предположим, что теорема верна не для любого полинома   (  фиксируем). Среди всех многочленов  , для которых теорема неверна, выберем многочлен наименьшей степени и обозначим его  :

Пусть  . Положим

Коэффициент при   в многочлене   равен  . Следовательно,  . Значит, для многочлена  теорема верна. Существуют такие   и  , что  . Тогда

Получили противоречие с тем предположением, что есть многочлены, для которых теорема неверна.

Единственность. Предположим, что

1)  . Значит,  ,

2)  .

Получили противоречие. Этот случай невозможен.

Схе́ма Го́рнера (или правило Горнера, метод Горнера) — алгоритм вычисления значения многочлена, записанного в виде суммы мономов (одночленов), при заданном значении переменной. Метод Горнера позволяет найти корни многочлена^[1], а также вычислить производные полинома в заданной точке. Схема Горнера также является простым алгоритмом для деления многочлена на бином вида  . Метод назван в честь Уильяма Джорджа Горнера (англ.).

Описание алгоритма

Задан многочлен  :

.

Пусть требуется вычислить значение данного многочлена при фиксированном значении  . Представим многочлен   в следующем виде:

.

Определим следующую последовательность:

…

…

Искомое значение  . Покажем, что это так.

В полученную форму записи   подставим   и будем вычислять значение выражения, начиная со внутренних скобок. Для этого будем заменять подвыражения через  :

Использование схемы Горнера для деления многочлена на бином

При делении многочлена   на   получается многочлен   с остатком  .

При этом коэффициенты результирующего многочлена удовлетворяют рекуррентным соотношениям:

,  .

Таким же образом можно определить кратность корней (использовать схему Горнера для нового полинома). Так же схему можно использовать для нахождения коэффициентов при разложении полинома по степеням : 

Билет 14

Корень многочлена (не равного тождественно нулю)

над полем k — элемент  , такой что выполняются два следующих равносильных условия:

• данный многочлен делится на многочлен  ;

• подстановка элемента c вместо x обращает уравнение

в тождество.

Равносильность двух формулировок следует из теоремы Безу. В различных источниках любая одна из двух формулировок выбирается в качестве определения, а другая выводится в качестве теоремы.

Свойства

• Число корней многочлена степени   не превышает   даже в том случае, если кратные корни учитывать кратное количество раз.

• Всякий многочлен   с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один, вообще говоря, комплексный, корень (основная теорема алгебры) .

  • Аналогичное утверждение верно для любого алгебраически замкнутого поля (по определению).

  • Более того, многочлен с вещественными коэффициентами   можно записать в виде

где   — (в общем случае комплексные) корни многочлена  , возможно с повторениями, при этом если среди корней   многочлена   встречаются равные, то общее их значение называется кратным корнем.

• Число комплексных корней многочлена с комплексными коэффициентами степени  , учитывая кратные корни кратное количество раз, равно  . При этом все чисто комплексные корни (если они есть) многочлена с вещественными коэффициентами можно разбить на пары сопряжённых одинаковой кратности, таким образом, многочлен четной степени с вещественными коэффициентами может иметь только чётное число вещественных корней, а нечётной — только нечётное.

• Корни многочлена связаны с его коэффициентами формулами Виета.