Используемые ограничения при решении поставленной задачи

Заявка, поступившая в систему с неограниченным ожиданием и нашедшая канал занятым, становится в очередь, ожидая освобождения канала. Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на вход обсуживающей системы, данная система обязательно обслужит все требования, т.е. клиенты, вставшие на ожидание, обязательно обслужатся. Вероятность отказа . Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость.

Основной характеристикой качества обслуживания является время ожидания (время пребывания заявки в очереди).

Для систем с ожиданием существует дисциплина очереди по принципу «первым пришел – первым обслужен».

Используемые методы и алгоритм решения задачи

По ниже написанным формулам можно вычислить СМО с неограниченным ожиданием:

1. Вероятность простоя каналов:

Предполагается, что .

2. Вероятность занятости обслуживанием одной заявки:

3. Вероятность того, что заявка окажется в очереди:

4. Среднее количество требований в очереди:

5. Среднее количество требований в системе:

6. Среднее время ожидания заявки в очередь:

7. Среднее время пребывания заявки в СМО:

Входные и выходные данные

Исходные данные:

C=1

допустимое значение среднего времени пребывания в системе.

Требуется определить вероятностные характеристики СМО, оценить максимально допустимую интенсивность входного потока.

Результат решения задачи

1. Результаты расчетов для построения графиков для одного канала обслуживания.

	𝜆
1,0	4,20	2,100	1,422	0,500	0,318	0,255	0,052
2,0	4,50	2,647	1,921	0,588	0,426	0,300	0,131
3,0	4,80	3,428	2,654	0,714	0,552	0,365	0,159
4,0	5,10	4,636	3,813	0,909	0,747	0,464	0,324
5,0	5,40	6,750	5,879	1,250	1,088	0,639	0,446
6,0	5,70	11,400	10,480	2,000	1,839	1,022	1,022
7,0	6,00	30,000	29,032	5,000	4,838	2,556	2,556

2. Определить максимально допустимые интенсивности входного потока при условии того, что среднее время пребывания требований в очереди:

𝜆
4,20	0,318
4,50	0,426

3. Выбор необходимой системы массового обслуживания.

Для одноканальной СМО при 𝜆=4,8 получим , что меньше допустимого значения среднего времени пребывания в системе . Для заданного значения обслуживания потока получим , что больше допустимого значения .

Интерпретация результата

Эффективность функционирования СМО определяется ее пропускной способностью – относительным числом обслуженных заявок.

Наряду с основными характеристиками для оценки функционирования системы используются дополнительные характеристики: длительность простоя, непрерывной занятости приборов и др.

Все указанные характеристики, кроме загрузки, - случайные величины, представляемые следующими распределениями: распределением длины очереди, числа заявок в системе, времени ожидания и т.д. На более низком уровне детализации случайные величины характеризуются средними значениями и дисперсиями или только средними значениями. Зависимости характеристик системы от ее параметров – предмет исследования элементарной теории массового обслуживания.

Что касается рассмотренной задачи, то можно сделать следующие выводы.

Для обслуживания потока с при допустимом значении среднего пребывания в системе использовать одноканальную систему массвого обслуживания с производительностью канала нельзя. Систему можно использовать при улови того, что максимальная интенсивность входного потока есть . В этом случае среднее время пребывания заявки в системе меньше допустимого, и, следовательно, систему можно использовать. Аналогично, можно повышать производительность канала, либо увеличивать их число.

Далее при условии того, что среднее время пребывания требований в очереди , мы можем оценить максимально допустимую интенсивность выходного потока: .