25. Матричная алгебра. Сложение матриц и умножение матрицы на число. Перемножение матриц. Диагональная и единичная матрицы. Обратная матрица.

Сложение матриц и умножение на число Сложение определено только для матриц одинаковых размеров. Определение 14.2   Суммой матриц иразмеровявляется матрицатаких же размеров, у которой,,.Определение 14.3   Произведением матрицы размеровна число называется матрицатаких же размеров, у которой,,.

Другими словами, при умножении матрицы на число все ее элементы умножаются на это число. Операцию вычитания матриц можно определить следующим способом: что соответствует вычитанию элементов, стоящих на одинаковых местах.

Используя операции сложения и умножения, мы можем находить линейные комбинации матриц, то есть выражения вида , где-- числа,-- матрицы одинаковых размеров. Операции сложения матриц и умножения матрицы на число, называемыелинейными операциями, обладают следующими свойствами:

1. -- свойство коммутативности;

2. -- свойство ассоциативности;

3. ;

4. ;

5. -- свойство дистрибутивности;

6. ;

7. ;

8. .

Умножение матриц Определение 14.4 Произведением матрицы размеровна матрицуразмеровназывается матрицаразмеров, элементы которой вычисляются по формуле

(14.5)

где ,. Во-первых, в этом определении нужно обратить внимание на то, что важен порядок сомножителей, нужно знать, какой сомножитель первый, а какой -- второй. Во-вторых, нужно отметить, что произведение определено только в том случае, если число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго. Если это условие не выполняется, то произведение не определено. В-третьих, размеры результата умножения определяются следующим образом: число строк результата равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов результата равно числу столбцов второго сомножителя. Правило вычисления элементов произведения можно сформулировать следующим образом. Для того, чтобы вычислить элемент произведения, стоящий в-ой строке и-ом столбце, нужно взять-ую строку первого сомножителя и-ый столбец второго сомножителя, попарно перемножить их элементы, стоящие на одинаковых местах, и результаты сложить. (Точно так же мы поступаем, когда находим скалярное произведение двух векторов по их координатам, см. формулу (14.2).) Предложение 14.4   Умножение матриц обладает следующими свойствами: -- ассоциативность умножения;, где-- число;,-- дистрибутивность умножения;,, где-- единичная матрица соответствующего порядка. Предполагается, что все указанные произведения имеют смысл. Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной. Квадратная матрица называется верхней треугольной (нижней треугольной), если все ее элементы, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю. Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1. Для обозначения единичной матрицы обычно используется буква . Порядок матрицы при этом обычно ясен из контекста. Из определения единичной матрицы видно, что ее элементыравны нулю, если индексы различны, и равны 1, если индексы совпадают. В математике таким свойством обладает величина, называемаясимволом Кронекера: Поэтому.Обратная матрица Определение14.8   Матрица называетсяобратной матрицей для квадратной матрицы , если. Из определения следует, что обратная матрицабудет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица(иначе одно из произведенийилибыло бы не определено). Обратная матрица для матрицыобозначается. Таким образом, еслисуществует, то. Из определения обратной матрицы следует, что матрицаявляется обратной для матрицы, то есть. Про матрицыиможно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны. Предложение14.20   Если матрица имеет обратную, тои. Доказательство.     Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей, то ., поэтому, что невозможно при. Из предыдущего равенства следует также.      Последнее предложение можно сформулировать в следующем виде. Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует. Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения. Определение14.9   Квадратную матрицу назовемвырожденной или особенной матрицей, если , иневырожденной или неособенной матрицей, если . Предложение14.21   Если обратная матрица существует, то она единственна. Доказательство.     Пусть две матрицы иявляются обратными для матрицы. ТогдаиСледовательно,. Предложение14.22   Если квадратная матрица является невырожденной, то обратная для нее существует и

(14.14)

где -- алгебраические дополнения к элементам. Доказательство.     Так как для невырожденной матрицыправая часть равенства (14.14) всегда существует, то достаточно показать, что эта правая часть является обратной матрицей для матрицы . Обозначим правую часть равенства (14.14) буквой . Тогда нужно проверить, чтои что. Докажем первое из этих равенств, второе доказывается аналогично. Пусть. Найдем элементы матрицы, учитывая, что:

Если , то сумма справа равна нулю, то естьпри. Если, тоСумма справа представляет собой разложение определителя матрицыпо-ой строке. Таким образом,Итак, в матрицедиагональные элементы равны 1, а остальные равны нулю, то есть.Теорема 14.1   Обратная матрица для квадратной матрицы существует тогда и только тогда, когда матрица-- невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула (14.14)