§6. Основные свойства определенного интеграла

При введении определенного интеграла мы всегда подразумеваем, что a < b. Для случая a = b полагаем, по определению, .

Свойство 1 (о перестановке пределов)

Свойство 2 (о разбиении интервала интегрирования)

Каковы бы ни были числа a, b, c, имеет место равенство

.

Здесь и в дальнейшем предполагается, что интегралы, входящие в формулы, существуют.

Из свойства 2 следует, что если с₁, с₂, …, с_k – как угодно расположенные числа в интервале непрерывности функции f(x), то

.

Свойство 2 называют свойством аддитивности определенного интеграла.

Свойство 3 (линейности)

,

где С₁, С₂ - постоянные числа.

Замечание. Свойство 3 имеет место для любого числа слагаемых. Это свойство говорит о том, что постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, а интеграл от суммы равен сумме интегралов.

Свойство 4 (о знаке интеграла)

Если всюду на отрезке [a, b] функция f(x) ≥ 0 ( f (x) ≤ 0), то

.

Свойство 5 (об интегрировании неравенств)

Если всюду на отрезке [a, b] функция f(x) ≤ g(x), то

.

Свойство 6

, a < b.

т. е. модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля функции.

Свойство 7

Теорема 6 (об оценке определенного интеграла).

Если m и M ¾ соответственно наименьшее и наибольшее

значения непрерывной функции f(x) на отрезке [a, b], то

. (3)

Свойство 8

Теорема 7 (о среднем значении)

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом

отрезке существует точка С такая, что

. (4)

Величина называется средним значением функции f(x) на отрезке [a, b].

Замечание . Теорема 7 имеет четкий геометрический смысл: величина определенного интеграла при f(x) ≥ 0 равна площади прямоугольника, имеющего высоту f(C) и основание b - a (рис. 60).

Рис.60.

Пример 10. Используя теорему об оценке, найти, какому интервалу принадлежит значение интеграла .

Решение. На отрезке [16, 32] наименьшее значение функции

,

наибольшее -

,

длина промежутка интегрирования b - a = 32 - 16 = 16. Согласно неравенству (3) имеем

.

§7. Определенный интеграл с переменным верхним пределом Формула Ньютона - Лейбница

До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования a и b. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b]. Если , то функция f(x) также интегрируема на любом отрезке [a, x]. Если изменять верхний предел, не выходя из отрезка [a, b], то величина интеграла будет изменяться, т. е. интеграл с постоянным нижним пределом a и переменным верхним пределом x есть функция верхнего предела. Обозначим эту функцию Ф(x):

. (5)

Замечание. Для удобства переменная интегрирования здесь обозначена буквой t, так как буквой x обозначен верхний предел интегрирования.

Интеграл (5) называется интегралом с переменным верхним пределом.

Сформулируем основную теорему дифференциального и интегрального исчисления, устанавливающую связь между производной и интегралом.

Теорема 8. Производная интеграла от непрерывной функции по перемен-

ному верхнему пределу существует и равна значению подынте-

гральной функции в точке, равной верхнему пределу, т. е.

. (6)

Эта теорема утверждает, что любая непрерывная функция на отрезке [a, b] имеет на нем первообразную, причем этой первообразной является функция Ф(x), а так как всякая другая первообразная функции f(x) может отличаться от данной Ф(x) лишь на постоянную, то устанавливается связь между неопределенным и определенным интегралом .

Теорема 9. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то

, (7)

где F(x) - некоторая первообразная функции f(x).

Формула (7) называется формулой Ньютона - Лейбница.

Формулу Ньютона - Лейбница можно переписать как

_.

Вывод. Определенный интеграл от непрерывной функции f(x) равен разности значений любой первообразной для верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Формула Ньютона - Лейбница открывает широкие возможности для вычисления определенных интегралов, так как задача сводится к задаче вычисления неопределенных интегралов.

Пример 11. Вычислить интеграл .

Решение.

.

Заключение. Изучение интегрального исчисления, особенно определенного интеграла, дает широкие возможности в различных областях науки. Например, можно вычислять длину различных кривых, объемы тел вращения и площади их поверхности, находить координаты центра масс геометрических фигур, статические моменты инерции, работу по перемещению материальной точки и многое другое.

В случае , когда определенный интеграл не возможно вычислить, применяя формулу Ньютона-Лейбница (например, в случае, когда первообразная подынтегральной функции не является элементарной функцией), применяют «Численное интегрирование». Историческое название: численная квадратура. Под численным интегрированием понимают набор численных методов отыскания значения определённого интеграла, как правило, значение приближённое. Существует три численных метода:

1. Метод прямоугольников,

2. Метод трапеций,

3. Метод парабол (метод Симпсона).

С некоторыми из них студенты познакомятся на информатике, изучив определенные алгоритмы.