7. Метод Жордана
(Щегловатов)
8. Характеристика системы линейных алгебраических уравнений Теорема Кронекера-Каппели
(Южмина)
______________________________________________________________________________
9. Теорема Крамера. Решение системы уравнений методом Крамера
(Болдырев)
Метод
Крамера (правило Крамера) —
способ решения квадратных систем
линейных алгебраических уравнений с
ненулевым определителем основной
матрицы(причём
для таких уравнений решение существует
и единственно). Назван по имени Габриэля
Крамера (1704–1752),
придумавшего метод.
Для системы 
линейных
уравнений с
неизвестными
(над произвольным полем)
с
определителем матрицы системы 
,
отличным от нуля, решение записывается
в виде
(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов). В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство:
В
этой форме формула Крамера справедлива
без предположения, что
отлично
от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты
системы были бы элементами целостного
кольца (определитель
системы может быть даже делителем нуля
в кольце коэффициентов). Можно также
считать, что либо наборы 
и 
,
либо набор 
состоят
не из элементов кольца коэффициентов
системы, а какого-нибудь модуля над
этим кольцом. В этом виде формула Крамера
используется, например, при доказательстве
формулы для определителя
Грама и Леммы
Накаямы.
[Править]Пример
Система линейных уравнений:
Определители:
Решение:
Пример:
Определители:
10. Метод обратной матрицы
(Боровой)
11. Метод Гаусса для систем линейных алгебраических уравнений
(Бушковская)
12. Метод простой итерации для систем линейных алгебраических уравнений
(Верницкая)
13. Метод Зейделя для систем линейных алгебраических уравнений
(Григорьева)
14. Линейные операции над векторами
(Датченко)
Линейными
операциями называют
операции сложения и вычитания векторов
и умножения вектора на число.
Сложение
векторов. Пусть
Рис.
1
Ту
же сумму можно получить иным способом.
Отложим от точки О векторы
и
Рис.
2
Понятие
суммы можно обобщить на случай любого
конечного числа слагаемых (рис. 3).
Рис.
3
Вычитание
векторов. Разностью
Если
векторы
и
привести
к общему началу, то разность представляет
собой отрезок, соединяющий их концы и
направленный от «вычитаемого» к
«уменьшаемому» (рис. 4).
Рис.
4
Таким
образом, если на векторах
и
,
отложенных из общей точки О,
построить параллелограмм ОАСВ,
то вектор
,
совпадающий с одной диагональю, равен
сумме
,
а вектор
Рис.
5
Умножение
вектора на число. Произведением вектора
на
действительное число
1)
2)
Очевидно,
что при
Построим,
например, векторы
Рис.
6
Из
определения следует: два
вектора
и
коллинеарны
тогда и только тогда, когда имеет место
равенство
:
Свойства
линейных операций:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Пусть
дан вектор
. Ортом вектора
(обозначается 
и 
–
два произвольных вектора. Возьмем
произвольную точку О и
построим вектор 
;
затем от точки А отложим
вектор 
.
Вектор 
,
соединяющий начало первого слагаемого
вектора с концом второго,
называется суммой этих
векторов и обозначается 
(рис.
1).
.
Построим на этих векторах как на сторонах
параллелограмм ОАСВ.
Вектор 
–
диагональ параллелограмма – является
суммой векторов
и
(рис.
2).
векторов
и
называется
такой вектор 
,
который в сумме с вектором
дает
вектор
: 
.
,
совпадающий с другой диагональю, –
разности
(рис.
5).
называется
вектор
(обозначают 
),
определяемый следующими условиями:
,
при 
и 
при 
.
.
и 
для
заданного вектора
(рис.
6).
(2.1)
;
;
; 
;
;
;
;
; 
;
)
называется вектор единичной длины,
сонаправленный с вектором
.
для
любого вектора
.
15. Скалярное произведение векторов
(Деревянко)
16. Смешанное произведение векторов
(Жалова)
17. Алгебраическая форма записи алгебраического числа
(Затонская)
18. Геометрическая форма комплексного числа
(Захарова)
Всякое комплексное число z = (x, y) можно изобразить как точку на плоскости с координатами x и y. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, при этом ось Ox называется действительной, а Oy - мнимой.
Расстояние r точки z от нулевой точки, т. е. число
называется модулем комплексного числа z и обозначается символом |z|.
Число
называем аргументом комплексного
числа z и
обозначаем символом θ =
arg z.
При заданном r углы,
отличающиеся на 
,
соответствуют одному и тому же числу.
В этом случае записываем 
называем главным
значением аргумента.
Числа r и θ называют полярными координатами комплексного числа z. В этом случае
z = (x, y) = (r cos θ, r sin θ) = r(cos θ + i sin θ)
называется тригонометрической формой комплексного числа.
Если z1 = (r1 cos θ1, r1 sin θ1), z2 = (r2 cos θ2, r2 sin θ2), то
z1z2 = (r1r2 cos(θ1 + θ2), r1r2 sin(θ1 + θ2)),
Для n-й степени числа z = (r cos θ, r sin θ) формула приобретает вид zn = (rn cos nθ, rn sin nθ).
При r = 1 соотношение приобретает вид zn = (cos nθ, sin nθ) и называется формулой Муавра.
Корень n-й степени из комплексного числа z имеет n различных значений, которые находятся по формуле
(1)