5. Соотношение между девиаторами и интенсивностями напряжений и деформаций. Девиаторы напряжений d и деформаций d выглядят так (см. Гл 1 и 2):

,

Для изотропного упругого тела они связаны соотношением:

D_ = 2GD_ (19)

В самом деле, в соответствии с уравнениями (16) этим соотношением связаны недиагональные элементы. Проверим диагональные элементы, например, первый. Учитывая зависимости (16),(13),(14) и(10), получим:

_x-_cp= +2G_x-K =(-K)+2G_x =

=( - )+2G_x= +2G_x =

= .

Что и требовалось.

Интенсивность касательных напряжений (см. 1.10)

T = =

= (20)

Интенсивностью деформаций сдвига (2.25)

= = (21) ,

Они связаны зависимостью, которая может быть получена подстановкой (11) в (21):

Т = GГ . (22)

Интенсивность (нормальных) напряжений (Mises stress)

_i = T связана с интенсивностью (линейных) деформаций

_i = зависимостью

_i = 3G_i. (23)

5. Характеристики упругих свойств материалов.

Итак, мы ввели следующие характеристики упругих свойств (упругие характеристики) изотропных материалов:

Е - модуль продольной упругости или модуль Юнга (1),

К - модуль объемной упругости (13 и (14),

G - модуль сдвига (9 и 10),

 - коэффициент поперечной деформации или коэффициент Пуассона (3),

 - постоянная упругости Ламе (15),

 - обратный коэффициент Пуассона (17 и 18),

- при необходимости число упругих постоянных можно увеличить.

Шесть перечисленных постоянных связаны между собой четырьмя зависимостями – формулами (10), (14),(15) и (18). Только две из шести перечисленных харектеристик независимые. В этой главе за основные были приняты модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона , а остальные через них выражены. Так традиционно поступают в технических приложениях. Е и  с технической точностью достаточно просто опрелеляются при испытании на растяжение цилиндрического или призматического образца. Вспомните, пожалуйста, те лабораторные работы по курсу сопротивления материалов, в которых Вы это делали.

Фундаментальное значение имеют модуль объемной упругости K и модуль сдвига G. Модуль объемной упругости связывает относительное изменение объема со средними нормальными напряжениями, то есть определяет такие деформации, которые присходят в результате изменения средних расстояний между атомами вещества (формула (13)). Модуль сдвига связывает девиаторы деформаций и напряжений (формула(17)), он определяет такие изменения геометрии тела, которые происходят без изменения объема в результате сдвигов, то есть определяет изменение формы тела. Решив уравнения (10), (14), (16) отностительно E,  и  , можно выразить эти упругие постоянные через фундаментальные K и G. Получится:

Е = (24)

 = (25)

 = . (26)

 = (27)

Пределы изменения значений упругих характеристик.

В формулах (1), (9) и (13) положительным деформациям должны соответствовать положительные напряжения, иначе будет нарушен и здравый смысл и закон сохранения энергии. Следовательно упругие постоянные Е, G и К не могут быть отрицательными:

E  0, G 0, K 0. (28)

А теперь посмотрим на формулы (10) и (14). Из положительности входящих в них упругих характеристик следует, что положительными должны быть и сомножители при них:

1+  0 и 1-2  0 или   -1 и 2  1.

Следовательно коэффициент Пуассона  у изотропного упругого материала может меняться в пределах

-1    0,5. (29)

У всех известных естественных и искусственных материалов коэффициент Пуассона положителен, находится в пределах 0    0,5.

Почти для всех технических металлов пределы значений коэффициента Пуассона еще уже:

   .

В случае отсутствия более достоверных данных для металлов принимают  = 0,3.

Обратный коэффициент Пуассона  меняется при этом в следующих пределах:

для всех изотропных материалов -1/2    1 ,

для всех известных матеоиалов 0   < 1 ,

для металлов 1/3    1/2,

значению  = 0,3 соответствует  = 3/7 = 0.428,

если принять  = 0.4 , то получится  = 2/7= 0.286.