6. Простейшая линейная упругая система. Потенциальная энергия.

Простейшая линейная упругая система с одной степенью свободы обычно изображается в виде упругой пружины, коэффициент жесткости которой равен C, загруженной осевой силой Р (рис.2).

Рис.2.Простейшая линейная упругая система.

Линейная связь между силой P и удлинением пружины f выражается очевидными уравнениями:

P = c * f

f = a * P (5)

где a = 1/c = c^-1 -коэффициент податливости системы (ср. с (4)).

Если удлинение пружины получит приращение df , то сила P совершит элементарную работу

dW = P * df .

Следовательно, сила P является обобщенной силой, соответствующей обобщенному перемещению f .

Работа, совершенная силой P при деформировании пружины от начального ненагруженного состояния до удлинения f определится интегрированием элементарной работы:

(6)

Рис.3 графически интерпретирует равенства (6). На нем по осям координат отложены обобщенная сила P и обобщенное перемещение f. Линейная зависимость между ними выражается прямой ОА, тангенс угла наклона которой к оси f равен коэффициенту жесткости c, а к оси P – коэффициенту податливости a. Работа силы P, равна интегралу от Pdf, то есть площади треугольника OAB, расположенного под линией ОА:

. (6-а)

Рис.3. Сила P, перемещение f, работа W.

Из определения упругой системы следует, что при разгрузке зависимость между силой и перемещением изобразится той же линией АО, перемещение при уменьшающейся силе будет направлено в противоположную сторону, работа силы будет отрицательна, численно равна площади того же треугольника ОАВ. При нагружении внешняя сила совершает над системой положительную работу, которая увеличивает энергию пружины. При разгрузке такая же работа совершается упругой системой, ее энергия уменьшается до своего начального значения. Энергия нагруженной пружины однозначно зависит от величины силы, и, следовательно, однозначно зависит от перемещения. Энергия однозначно зависящая от обобщенных перемещений называется потенциальной. Принято считать, что для ненагруженной системы потенциальная энергия равна нулю, тогда для нагруженной системы с одной степенью свободы она равна работе, совершенной силой:

. (7)

7. Теоремы взаимности работ и перемещений.

Потенциальная энергия линейной упругой системы однозначно определяется значениями обобщенных сил или значениями обобщенных перемещений, равна сумме работ обобщенных сил совершенных при ее деформировании и

не зависит от последовательности приложения нагрузок. Работа каждой из обобщенных сил зависит от последовательности их приложения. Рассмотрим эту ситуацию подробнее.

Пусть на линейную упругую систему действуют две обобщенные силы Q_i и Q_j. Приложим сначала силу Q_i, она вызовет обобщенные перемещения q_{i, i} = a_{i, i} Q_i и q_{j, i} = a_{j, i} Q_i и совершит работу

.

Сила Q_j еще не приложена, поэтому на перемещении q_j,i, никакой работы совершено не будет. Теперь приложим силу Q_j. Она вызовет перемещения q_{i, j} = a_{i ,j} Q_j и q_{j, j} = a_{j, j} Q_j и совершит работу

.

Сила Q_i,приложенная раньше, чем Q_j совершит работу на своем обобщенном перемещении, вызванном силой Q_j:

dW₃ = q_{i, j} Q_i = a_{i, j} Q_j Q _i .

Таким образом, суммарная работа, совершенная силами при этой последовательности будет равна:

dW = dW₁ + dW₂ + dW₃ = + + a_i,j Q_j Q_i (8)

Теперь рассмотрим другую последовательность приложения нагрузок: сначала приложим силу Q₂, а затем Q₁. Повторив предыдущие рассуждения для этого случая, получим несколько иное выражение для суммарной работы сил:

dW¹ = + + a_j,i Q_i Q_j , (9)

поскольку теперь на втором этапе сила Q_j будет совершать работу на перемещении q_j,i = a_j,i Q_j.

Теперь вспомним, что в конечных состояниях упругой системы в обоих случаях одинаковы конечные нагрузки, перемещения, следовательно, одинакова потенциальная энергия, которая равна работе обобщенных сил. Следовательно работы обобщенных сил равны друг другу: dW = dW¹. Сравнивая выражения (8) и (9), получаем:

a_i,j Q_j Q_i = a_j,i Q_i Q_j (10)

Следовательно,

a_i,j = a_j,i . (11)

Уравнение(10) имеет простой смысл: выражение, стоящее слева – это работа, которая совершается силой Q_i на соответствующем ей обобщенном перемещении, вызванном силой Q_j, а справа – работа, совершенная силой Q_j на ее обобщенном перемещении, вызванном силой Q_j. Это положение в механика линейных упругих систем носит название теоремы о взаимности работ, которая в более общем виде формулируется следующим образом:

Работа первой системы обобщенных сил на перемещениях, вызванных второй системой сил равна работе второй системы сил на перемещениях, вызванных первой системой.

Теперь обратимся к уравнению (11). Оно составляет содержание теоремы о взаимности перемещений:

Перемещение q_i , вызванное единичной силой Q_j равно перемещению q_j, вызванному единичной силой Q_i .

Уравнение (11) выражает условие симметрии матрицы податливости относительно главной диагонали. Поэтому та же теорема может формулироваться так:

Матрица податливости линейной упругой системы симметрична.

В линейной алгебре показывается, что матрица, обратная симметричной тоже симметрична Поскольку матрица жесткости обратна матрице податливости, справедливо утверждение:

с_i,j = с_j,i . (12)

Матрица жесткости линейной упругой системы симметрична.

Рис.4. Обобщенные силы, соответствующие им перемещения и совершенная работа для двух последовательностей приложения нагрузок. Площади закрашенных фигур равны соответствующим работам, причем в верхнем и нижнем рядах одинаково обозначенные фигуры равновелики.

8. Потенциальная энергия линейной упругой системы, загруженной произвольным числом обобщенных сил.

Как показано в п.7, потенциальная энергия упругой линейной системы равна сумме работ обобщенных сил на соответствующих обобщенных перемещениях и не зависит от последовательности приложения нагрузок. Пусть все силы меняются от нулевых до конечных значений одновременно, пропорционально одному параметру (например, времени). При таком способе нагружения обобщенные перемещения тоже будут меняться пропорционально тому же параметру. Следовательно, каждое обобщенное перемещение будет меняться пропорционально соответствующей ему обобщенной силе. Работа i-той обобщенной силы определится формулой (6-а):

,

Потенциальная энергия упругой системы будет равна сумме работ всех обобщенных сил:

, (13)

или в матричной форме

(13-а)

или (13-б)

Подставим обобщенные перемещения, из (2)в (13-б):

 = = (14-a)

Легко проверить, что для любого n-мерного вектора b, представленного матрицей-столбцом (b) или матрицей-строкой (b)^T и любой квадратной n*n матрицы (d) справедливо равенство

, (15)

Поэтому потенциальная энергия линейной упругой системы может быть представлена в виде:

(13-в)

Как видно из (13-в), потенциальная энергия линейной упругой системы выражается однородной квадратичной функцией обобщенных сил, причем коэффициентами этой функции являются коэффициенты матрицы податливости (а).

Аналогично, подставив обобщенные силы, из (3)в (12-а), получим:

(13-г)

Из (13-г) следует, что потенциальная энергия линейной упругой системы может быть выражена однородной квадратичной функцией обобщенных перемещений, коэффициентами которой являются коэффициенты матрицы жесткости (с).