1. Пусть предполагается, что все погрешности измерений примерно одинаковы . Тогда

откуда

, (3.4.1)

где R_x – корреляционная матрица результатов измерений, полученная из ковариационной матрицы K_x.

Приравнивать между собой возможно и элементы структуры f_i, при известных погрешностях измерений m_i. Такого рода проектирование называют проектированием геометрии оцениваемого процесса. Тогда по аналогии имеем

,

откуда аналогично (3.3.23)

. (3.4.2)

Здесь т – вектор-строка погрешностей измерений; К_х – ковариационная матрица измерений; е – вектор-строка из п единиц (сумматор). Здесь учтено, что R_x = DK_xD, где D – диагональная матрица с элементами 1/m_i (масштабатор). Тогда К_х = D^-1R_x D^-1.

Следует учесть, что f – численное значение частной производной. Таким образом, проектирование здесь возможно только по количественному значению измеренных величин.

Например, пусть при погрешности измерения сторон в квадрате m_a = m_b = 0.1м и сторонах а = b = 10м имеем погрешность определения площади

и .

Какие длины должен иметь квадрат, чтобы погрешность площади теперь была т_р= т_y = 1. По (3.4.2) имеем

;

Таким образом, при уменьшении стороны в раз, погрешность будет заданной величины. Такого рода проектирование целесообразно для примерно одинаковых точностных и геометрических условий.

2. Предположим, что в (3.3.2) одинаковое влияние оказывает произведение вида . Тогда

,

,

откуда значения погрешностей измерений

. (3.4.3)

Здесь – вектор-строка из п одинаковых частных производных f_i.

Если и m_i известны, то из (3.4.3) проектирование по количественному значению (геометрии) будет

, (3.4.4)

где – вектор-строка из п одинаковых погрешностей m_i.

Эта формула более гибкая чем (3.4.2), так как позволяет проектировать, в какой то мере, «индивидуальную» геометрию, как и (3.4.3) «индивидуальные» точности в зависимости от геометрии.

Например, в рассмотренном выше примере: а = 10м, b = 20м и m_i = 4м², найти т_а и m_b. По (3.4.3) имеем

.

Как должны измениться длины, чтобы при этих же точностях измерений погрешность площади была равна m_p = 3м². Из (3.4.4) получаем

м, а м.

Ответ тривиален, но подход может быть использован и в более сложных задачах, например, при оценивании алгоритмов координатоопределения.

3. Пусть теперь приравниваются части вида . Тогда (3.3.2) примет вид

.

Очевидно, что последние суммы нельзя привести к рассматриваемому допущению 3 без дополнительных условий. Поэтому будем рассматривать некоррелированный случай. Исходя из этого (3.3.22) будет

. (3.4.5)

Отсюда искомые значения погрешностей

, (3.4.6)

где f – вектор-строка из частных производных f_i; – вектор-строка из п одинаковых элементов f_i (см. (3.4.3)).

При проектировании геометрии весьма затруднительно использовать (3.3.2) с третьим условием для выражения значения f_i. Но на основе аналогии с формулами первого и второго условия, формулы (3.4.2), (3.4.4), можно записать

. (3.4.7)

Анализ формул показывает, что другие комбинации на основе равных влияний слагаемых или их частей, невозможны. Результаты проектирования сведем в общую таблицу (таблица 3.4.1), из анализа которой также можно сделать этот вывод.

В 2000 году Маркузе М.Ю. [19] ,был предложен метод степенного взвешивания для проектирования, вида

.

Не сложно показать, что при подстановке в (3.3.2) мы имеем тождество, а при h = 0 мы имеем частный случай (3.4.3), h = -1 – (3.4.6), а при h = -2, частный случай формулы (3.4.1). Общий вид проектирования при наличии корреляции по предложенному алгоритму весьма затруднителен, что впрочем не снижает его ценности для практики.

Таблица 3.4.1

Проектирование условий измерений

Условия	Проектирование mi	Проектирование fi
1
2
3

При оценивании точности функции при наличие случайных и систематических погрешностей (3.3.6), (3.3.8)

при заданной погрешности функции, необходимо накладывать условия как на случайные, так и на систематические составляющие, что приводит к большим трудностям. Есть несколько простых задач этого класса, которые сводятся к априорному заданию погрешности функции и случайной погрешности или систематических погрешностей с предвычислением точности других. В этом случае задача сводится к первому, второму или третьему виду условий при проектировании.

Например, при предрассчете среднего арифметического с требуемой точностью при условиях формулы (3.3.8а), требуют знания значения случайных погрешностей. Тогда, чтобы получить достаточно приближенное к требуемому значению погрешность среднего , надо, чтобы

, и т.д.

Очевидно, что в реальности выполнения условий 1, 2 или 3 задачи проектирования может быть достаточно проблематично. Но если мы предрассчитали условия и современное развитие измерительной техники и методы позволяют их выполнить, мы получим достаточно хорошее соответствие не взирая на принятые условия.

Л_15,16,17