Билет №14. «Пучок плоскостей»

Собственным пучком плоскостей называется множество плоскостей, проходящих через одну прямую.

Не собственным пучком плоскостей называется множе­ство всех параллельных между собой плоскостей.

Теорема 9.1. Для того чтобы три плоскости, заданные общими уравнениями в ОДСК:

принадлежали одному пучку, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы М<3, где М – матрица, состав­ленная из коэффициентов данных уравнений

.

Доказательство. Составим матрицу

.

Необходимость. Пусть рассматриваемые плоскости при­надлежат одному пучку. Следовательно, каждая из них имеет с другой бесконечно много общих точек – в слу­чае собственного пучка. Это все точки, лежащие на их общей прямой, следовательно, система (1) имеет беско­нечно много решений. А это возможно тогда и только тогда, когда ранг матрицы М<3. Но если ранг матрицы равён 3, то имеет либо единственное решение либо не имеет решений.

(1)

Таким образом, если <3, то это означает линейную зависимость строк или столбцов, то есть три плоскости имеют общую прямую.

Если же пучок плоскостей не собственный, то есть все они параллельны между собой, то определитель мат­рицы М равен 0, как определитель матрицы с пропор­циональными строками, а .

Матрица М получается из матрицы m приписанием од­ного столбца, следовательно, её ранг отличается от мат­рицы m не более чем на единицу, и тогда . Пусть <3. Покажем, что, что плоскости принадле­жат одному пучку. Возможны следующие случаи соот­ношений между m и M.

1)

2) 1;

3)

(С учётом того, что .)

При выполнении условия (1) система (1) совместна и имеет бесконечное множество решений. В этом случае рассматриваемые плоскости образуют собственный пучок. Во втором случае все плоскости параллельны между собой, причём две из них могут совпадать. В слу­чае (3) совпадают все три плоскости.

Теорема 9.2. Если две плоскости заданы своими общими уравнениями в ОДСК (плоскости различны), то третья плоскость принадлежит пучку, определяемым ими то­гда и только тогда, когда левая часть её уравнения яв­ляется линейной комбинацией левых частей уравнений указанных плоскостей.

БИЛЕТ №15. «Связка плоскостей».

Собственной связкой плоскостей называются множества всех плоскостей, проходящих через одну точку. Не соб­ственной связкой плоскостей называется множество всех плоскостей, параллельных некоторой прямой.

Теорема 9.3. Для того чтобы четыре плоскости, задан­ные своими общими уравнениями в ОДСК

принадлежали одной связке, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы их коэффициентов был равен нулю:

Доказательство. Необходимость.

Пусть связка плоскостей является собственной (имеет одну общую точку), следовательно, система

(2)

имеет единственное решение.

(3)

Четвёртый столбец матрицы М является линейной ком­бинацией первых трёх столбцов с коэффициентами . Следовательно, det(M)=0.

Если связка плоскостей не собственная, то все четыре плоскости параллельны некоторой прямой.

Пусть - направляющий вектор данной пря­мой. Следовательно, выполняются соотношения

откуда следует линейная зависимость первых трёх столбцов матрицы . Например, третий столбец явля­ется линейной комбинацией первых двух с линейными коэффициентами . Следовательно, det(M)=0.

Теорема 9.4. Если три плоскости, не принадлежащие одному пучку, заданы общими уравнениями в ОДСК, то для того чтобы четвёртая плоскость принадлежала определяемой ими связке плоскостей, необходимо и достаточно, чтобы её левая часть являлась линейной комбинацией левых частей этих уравнений:

БИЛЕТ №16. «Преобразование системы координат на плоскости: перенос ОДСК и переход от старой ОДСК к новой с тем же началом»

1) Перенос ОДСК. Введем на плоскости две системы координат с одинаковыми масштабными векторами и .

В этом случае говорят, что система X’O’Y’ получена переносом системы координат XOY. Пусть ее начало O’ имеет в старой системе координат XOY координаты . Рассмотрим произвольную точку плоскости M и установим связь между ее координатами x и y в старой системе координат XOY и новой с координатами x’ и y’ в X’O’Y’. Рассмотрим промежуточную систему координат XO*Y с теми же масштабными векторами и и получающимися из XOY сдвигом оси Oy на . В этой системе координат точка M определяется координатами y*=y, x=x₀+x*. Т.к. в промежуточной системе координат ось Oy заняла положение оси Oy’, то . От промежуточной системы координат перейдем параллельным переносом оси Ox к системе X’O’Y’. Тогда:

2) Переход от старой ОДСК на плоскости к новой с тем же началом. Рассмотрим на плоскости 2 системы координат X’OY’ и XOY с одним началом, но не обязательно одинаковыми масштабными векторами. Установим связь между старыми и новыми координатами точки в этих системах координат.

Т.к. координаты M совпадают с координатами радиус-вектора этой точки , соединим ее с началом координат. Разложим вектор по двум базисам и .

По старому базису разложим и векторы нового базиса :

Матрица, составленная из коэффициентов разложения , называется матрицей перехода от старой системы координат к новой. Подставим (4) в (3) и приведем подобные:

Учитывая однозначность разложения вектора по базису и сравнивая (2) с (5), получим:

или .

БИЛЕТ №17. «Общее преобразование ОДСК на плоскости, связь между координатами вектора при преобразовании системы координат на плоскости».

1) Общее преобразование ОДСК на плоскости. Рассмотрим на плоскости 2 системы координат XOY с масштабными векторами и X’O’Y’ с .

Установим связь между произвольными координатами точки в этих системах. Введем промежуточную систему координат X*OY* с масштабными векторами , т.е. она получается переносом системы координат X’OY’ и имеет общее начало системы координат XOY. Пусть начало новой системы координат O’ в старой системе имело координаты . Тогда по формуле связь между координатами точки M в промежуточной системе координат и старой имеет вид:

, ,

а связь между промежуточными координатами новыми имеет вид:

,

где и - координаты O’ в промежуточной системе координат. Подставив (2) в (1) получим:

Применяя формулу , получим:

и связь между новыми и старыми координатами точек при общем преобразовании ОДСК имеет вид:

2) Связь между координатами вектора при преобразовании системы координат на плоскости.

.

Т.к. координаты любого вектора определяются как разности координат точек, являющихся концом и началом, то при переносе системы координат, как следует из формулы (1), координаты вектора не меняются. При переходе от одной системы координат к другой с одним и тем же началом и при общем преобразовании системы координат, связь между новыми и старыми координатами вектора определяется формулой , где - элементы матрицы перехода A от старой системы координат к новой.

БИЛЕТ №18. «Связь между координатами точки при переходе от одной ДПСК к другой»

Т.к. в ДПСК масштабные векторы имеют единичную длину, т.е. являются ортами осей, а координатами орта являются их направляющие косинусы, матрица перехода от одной ДПСК к другой с тем же началом, т.е. при повороте, будет иметь вид:

, где

Если угол поворота, переводящий XOY в X’OY’ обозначить через , то, учитывая формулы приведения, получим:

(для случая, при котором обе системы координат имеют одинаковую ориентацию). Если же ДПСК имеет противоположную ориентацию, т.е. получена поворотом и перемещением осей, то связь между и примет вид:

.

БИЛЕТ №19. «Преобразование координат в пространстве, переход в пространстве от старой системы координат к новой с тем же началом. Общее преобразование ОДСК»

1) Перенос системы координат. Пусть в пространстве заданы две ОДСК XOYZ и X’O’Y’Z’ с одними и теми же масштабными векторами , причем начало новой системы координат в старой имеет координаты . Спроецируем параллельно вектору , т.е. осям Oz и Oz’ начало новой системы координат O’ на плоскость XOY. Получим точку O*, которая будет являться началом промежуточной системы координат X*O*Y*Z* с теми же самыми масштабными векторами . Точка O* имеет в старой системе координат координаты .

Установим связь между координатами , в старой и новой системах координат. Т.к. , то , а плоская система координат X*O*Y* получается переносом плоской системы координат XOY, т.к. эти системы имеют одни и те же масштабные векторы и Связь между координатами старой системы координат и промежуточной будет иметь вид первой скобки, а общая связь имеет вид второй скобки:

Т.к. промежуточная и новая системы получаются смещением вдоль осей z’, имеем:

и в итоге связь между координатами имеет вид (при переносе системы координат):