§ 2. Векторный потенциал заданных токов

Раз В определяется токами, значит, и А тоже. Мы хотим теперь выразить А через токи. Начнем с нашего основного уравнения

откуда, конечно, следует

Это уравнение для магнитостатики; оно похоже на уравнение

для электростатики.

Наше уравнение (14.12) для векторного потенциала ста­нет еще более похожим на уравнение для , если перепи­сать [[A]], используя векторное тождество

Поскольку мы выбрали А=0 (и теперь вы видите, по­чему), уоавнение (l4.12) поиобретает вид

Фиг. 14.2 Векторный потенциал А в точке 1 определяется

интегралом по элементам тока jdV во всех точках 2.

Все, что мы узнали о нахождении потенциала для известного , можно использовать для нахождения каждой компоненты А, когда известно j!

В гл. 4 мы видели, что общее решение уравнения элект-

ростатики (14.7) имеет вид

Тогда мы немедленно получаем общее решение для А_х:

и аналогично для А_y и A_z. (Фиг. 14.2 напоминает вам о принятых нами обозначениях для r₁₂ и dV₂) Мы можем объединить все три решения в векторной форме:

(Вы можете при желании проверить прямым дифференцированием компонент, что этот интеграл удовлетворяет A=0, поскольку j=0, а последнее, как мы видели, должно выполняться для постоянных токов.)

Мы имеем, таким образом, общий метод вычисления магнитного поля

от постоянных токов. Принцип такой: х-компонента векторного потенциала, возникающего от плотности тока j, точно такая же, как электрический потенциал  , кото

рый был бы создан плотностью зарядов , равной j_x/с², и ана­логично для у- и z-компонент. (Этот принцип действует только для декартовых компонент. Например, «радиальная» компо­нента А не связана таким же образом с «радиальной» компонен­той j.) Итак, из вектора плотности тока j можно найти А, пользуясь уравнениями (14.19), т. е. мы находим каждую ком­поненту А, решая три воображаемые электростатические зада­чи для распределений заряда ₁=j_x/с², ₂=j_y/с²и ₃=j_z/с². Затем мы находим В, вычислив разные производные от А, входящие в xA. Немного сложнее, чем в электростатике, но идея та же. Сейчас мы проиллюстрируем теорию, вычислив векторный потенциал в нескольких частных случаях.

§ 3. Прямой провод

В качестве первого примера снова вычислим поле прямого провода, которое мы находили в предыдущем параграфе, поль­зуясь уравнением (14.2) и соображениями симметрии. Возьмем длинный прямой провод радиуса а, по которому течет постоян­ный ток I. В отличие от заряда в проводнике в случае электро­статики постоянный ток в проводе распределен равномерно по поперечному сечению провода. При таком выборе координат, как показано на фиг. 14.3, вектор плотности тока j имеет только z-компоненту. По величине она равна

внутри провода и нулю вне его. Поскольку j_x и j_y оба равны нулю, то сразу же получим

А_x=0 А_y=0

Чтобы получить A_z, мож­но использовать наше ре­шение для электростати­ческого потенциала  от

Фиг. 14.3. Длинный цилинд­рический провод с однородной плотностъю тока j, напраеленный вдоль оси z.

провода с однородной плотностью заряда =j_z/с². Для точек вне бесконечного заряженного цилиндра электростатический потенциал равен

где r'=x²+y², а  — заряд на единицу длины ². Следовательно, А_z должно быть равно

для точек вне длинного провода с равномерно распределен­ным током. Поскольку ²j_z=I , то можно также написать

Теперь можно найти В, пользуясь (14.4). Из шести про­изводных от нуля отличны только две. Получаем

Мы получаем тот же результат, что и раньше: В обходит провоп по окружности и по величине равен